Grupo modular
El grupo modular actúa en la mitad superior del plano complejo mediante transformaciones lineales fraccionarias.
El grupo modular Γ es el grupo de transformaciones fraccionales lineales de la mitad superior del plano complejo, que tienen la forma donde a, b, c, d son números enteros y ad − bc = 1.
En otras palabras, PSL(2, Z) consta de todas las matrices donde a, b, c, d son números enteros, ad − bc = 1 y los pares de matrices A y −A se consideran idénticos.
Algunas relaciones matemáticas requieren la consideración del grupo GL(2, Z) de matrices con determinante más o menos uno (SL(2, Z) es un subgrupo de este grupo).
a ser coprimos, ya que de lo contrario habría un factor
Entonces, usando la proyección, estas matrices definen elementos en PSL(2, Z).
El determinante unidad de implica que las fracciones a/b, a/c, c/d, b/d son todas irreducibles, es decir, no tienen factores comunes (siempre que los denominadores sean distintos de cero, por supuesto).
Cualquier par de fracciones irreducibles se puede conectar de esta manera; es decir, para cualquier par p/q y r/s de fracciones irreducibles, existen elementos tal que Los elementos del grupo modular proporcionan una simetría en la retícula bidimensional.
Sean ω1 y ω2 dos números complejos cuya razón no es real.
La acción del grupo modular sobre los números racionales se puede entender más fácilmente imaginando una retícula cuadrada, con el punto (p, q) correspondiente a la fracción p/q (véase huerto de Euclides).
Una fracción irreducible es aquella que es "visible" desde el origen; la acción del grupo modular sobre una fracción nunca lleva de un valor "visible" (irreducible) a uno "oculto" (reducible), y viceversa.
Téngase en cuenta que cualquier miembro del grupo modular aplica la recta real proyectada extendida uno a uno sobre sí misma, y además aplica biyectivamente la recta racional proyectada extendida (los racionales con el infinito) sobre sí misma, los irracionales sobre los irracionales, los trascendentes sobre los trascendentes, los números no reales sobre los números no reales, el semiplano superior sobre semiplano superior, etcétera.
Si pn−1/qn−1 y pn/qn son dos términos convergentes sucesivos de una fracción continua, entonces la matriz pertenece a GL(2, Z).
En particular, si bc − ad = 1 para enteros positivos a, b, c, d con a < b y c < d, entonces a/b y c/d serán elementos vecinos en la sucesión de Farey de orden max(b, d).
Se puede demostrar[1] que se trata de un conjunto completo de relaciones, por lo que el grupo modular tiene la presentación: Esta presentación describe el grupo modular como el grupo triangular D(2, 3, ∞) rotacional (infinito, ya que no hay relación en T) y, por lo tanto, se asigna a todos los grupos de triángulos (2, 3, n) agregando la relación Tn = 1, que ocurre, por ejemplo, en un subgrupo de congruencia Γ(n).
Otros cocientes importantes son los grupos de triángulos (2, 3, n), que corresponden geométricamente a descender a un cilindro, realizando el cociente de la coordenada x módulo n, como Tn = (z ↦ z+n).
En términos de coordenadas homogéneas, el grupo PSL(2, R) actúa en el semiplano superior H por proyectividad: Esta acción es fiel.
Al transformar esta región a su vez por cada uno de los elementos del grupo modular, se crea un teselado regular del plano hiperbólico mediante triángulos hiperbólicos congruentes conocido como teselado triangular de orden infinito V6.6.∞.
Debe tenerse en cuenta que cada uno de estos triángulos tiene un vértice en el infinito o en el eje real Im(z) = 0.
Esta teselación se puede refinar ligeramente, dividiendo cada región en dos mitades (convencionalmente coloreadas en blanco y negro), agregando una aplicación de inversión de orientación; los colores corresponden entonces a la orientación del dominio.
Los subgrupo importantes del grupo modular Γ, llamados subgrupos de congruencia, se dan imponiendo una relación de congruencia en las matrices asociadas.
Existe un homomorfismo SL(2, Z) → SL(2, Z/NZ) natural que se obtiene al reducir las entradas mediante la operación módulo N. Esto induce un homomorfismo en el grupo modular PSL(2, Z) → PSL(2, Z/NZ).
El principal subgrupo de congruencia del nivel 2, Γ(2), también se denomina grupo modular Λ.
Dado que PSL(2, Z/2Z) es isomorfo al S3, Λ es un subgrupo de índice 6.
Las curvas modulares asociadas con estos grupos son un aspecto de monstrous moonshine -para un número primo p, la curva modular del normalizador es de genus cero si y solo si p divide el orden del grupo monstruo, o de manera equivalente, si p es un primo supersingular.
Un subconjunto importante del grupo modular es el monoide diádico, que es el monoide de todas las cadenas de la forma STkSTmSTn... para enteros positivos k, m, n,....
Por ejemplo, se puede entender que la representación N = 3 describe la auto-simetría de la curva del manjar blanco.
El grupo GL(2, Z) coincide con las transformaciones lineales que conservan la retícula estándar Z2, y SL(2, Z) son las transformaciones que conservan la orientación y preservan esta retícula; así descienden a auto homeomorfismos del toro (tranformación SL a sistemas que preservan la orientación), y de hecho aplican isomórficamente al grupo de clases de aplicación (extendido) del toro, lo que significa que cada auto-homeomorfismo del toro es isotópico a una aplicación de esta forma.
Para valores pequeños de q ≥ 3, se tiene que: El grupo modular Γ es isomorfo a H3 y comparten propiedades y aplicaciones, por ejemplo, posee el producto libre de los grupos cíclicos.
Sin embargo, las funciones elípticas estrechamente relacionadas fueron estudiados por Joseph-Louis Lagrange en 1785, y Carl Gustav Jakob Jacobi y Niels Henrik Abel publicaron más resultados sobre funciones elípticas en 1827.
