Curva modular

El término curva modular también se puede utilizar para referirse a las curvas modulares compactificadas X (Γ) que son compactificaciones obtenidas añadiendo un número finito de puntos (denominados cúspides de Γ) a este cociente (mediante una acción en el plano superior complejo complejo extendido ).Esta interpretación permite dar una definición puramente algebraica de curvas modulares, sin referencia a números complejos, y, además, probar que las curvas modulares se definen ya sea sobre el campo Q de números racionales, o un campo ciclotómico.Este último hecho y sus generalizaciones son de fundamental importancia en la teoría numérica.El grupo modular SL (2, Z) actúa sobre el plano medio superior mediante transformaciones lineales fraccionarias.La curva modular X (7) es la cuartil de Klein del género 3 con 24 cúspides.Se puede interpretar como una superficie con tres asas con 24 heptagones, con una cúspide en el centro de cada cara.Otra conexión es que la curva modular correspondiente al normalizador Γ0 (p) + de Γ0 (p) en SL (2, R) tiene un género cero si y sólo si p es 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 , 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 o 71, y éstos son precisamente los factores primos del orden del grupo de monstruos.[2]​ La relación es muy profunda y, como lo demuestra Richard Borcherds, también involucra álgebras generalizadas de Kac-Moody.El trabajo en esta área subrayó la importancia de las funciones modulares que son meromorfas y pueden tener polos en las cúspides, en oposición a las formas modulares, que son holomorfos en todas partes, incluyendo las cúspides, y han sido los principales objetos de estudio para la mayor parte de la siglo XX.