Ecuación

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones, denominadas miembros y separadas por el signo igual, en las que aparecen elementos conocidos y datos desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas.Muy a menudo se supone que el lado derecho de una ecuación es cero.Más generalmente, una ecuación permanece en equilibrio si se realiza la misma operación en sus dos lados.Cuando hay una sola variable, las ecuaciones polinómicas tienen la forma P(x) = 0, donde P es un polinomio, y las ecuaciones lineales tienen la forma ax + b = 0, donde a y b son parámetros.Para resolver ecuaciones de cualquiera de las dos familias, se utilizan técnicas algorítmicas o geométricas que provienen del álgebra lineal o del análisis matemático.El álgebra también estudia las ecuaciones diofánticas en las que los coeficientes y las soluciones son números enteros.Estas ecuaciones son difíciles en general; a menudo se busca sólo encontrar la existencia o ausencia de una solución y, si existe una o varias, hallar el número de soluciones.Se resuelven encontrando una expresión para la función que no implique derivadas.Las ecuaciones diferenciales se utilizan para modelar procesos que implican las tasas de cambio de la variable,y se utilizan en áreas como la física, la química, la biología y la economía.Estos otros términos, que se suponen conocidos, suelen llamarse constantes, coeficientes o parámetros.Un ejemplo de una ecuación que implica x e y como incógnitas y el parámetro R es Cuando se elige que R tenga el valor de 2 (R = 2), esta ecuación se reconocería en coordenadas cartesianas como la ecuación del círculo de radio 2 alrededor del origen.Por ejemplo, si se considera una masa m = 1 kg y una aceleración a = 1 m/s^2, la única solución de la ecuación es F = 1 kg·m/s^2 = 1 newton, que es el único valor para la fuerza permitida por esta ley.Hacia mediados del siglo XVI los matemáticos italianos Girolamo Cardano y Rafael Bombelli descubrieron que para poder resolver todas las ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado, el uso de los números imaginarios era indispensable.En el mismo siglo, el matemático francés René Descartes popularizó la notación algebraica moderna, en la cual las constantes están representadas por las primeras letras del alfabeto, a, b, c, … y las variables o incógnitas por las últimas, x, y, z. En esta época se enuncian problemas de ecuaciones que solo han sido resueltos actualmente, algunos recientemente; entre ellos el último teorema de Fermat, uno de los teoremas más famosos de la matemática, que no fue demostrado hasta 1995 por Andrew Wiles y Richard Taylor.Durante el siglo XVIII, matemáticos ilustres como Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, Joseph-Louis Lagrange y Pierre Simon Laplace publicaron resultados sobre ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones en derivadas parciales.Ya en el siglo XX, la física matemática siguió ampliando su campo de acción; Erwin Schrödinger, Wolfgang Ernst Pauli y Paul Dirac formularon ecuaciones diferenciales con funciones complejas para la mecánica cuántica.Debido a que la mayoría de ecuaciones que se presentan en la práctica son muy difíciles o incluso imposibles de resolver analíticamente, es habitual utilizar métodos numéricos para encontrar raíces aproximadas.Entre los tipos más comunes están y precisos son Una ecuación diofántica es aquella cuya solución solo puede ser un número entero, es decir, en este caso A ⊆ ℤ.Por tanto, hay que tener cuidado al aplicar una transformación de este tipo a una ecuación.Además, una igualdad es una relación de equivalencia,[10]​ con lo cual se cumplen las siguientes propiedades.Algunas (pero no todas) ecuaciones polinómicas con coeficientes racionales tienen una solución que es una expresión algebraica, con un número finito de operaciones que implican sólo esos coeficientes (es decir, puede ser resuelta algebraicamente).Debido a que tales relaciones son extremadamente comunes, las ecuaciones diferenciales juegan un papel prominente en muchas disciplinas, incluyendo la física, la ingeniería, la economía y la biología.Sólo las ecuaciones diferenciales más sencillas pueden resolverse mediante fórmulas explícitas; sin embargo, algunas propiedades de las soluciones de una ecuación diferencial dada pueden determinarse sin encontrar su forma exacta.Si no se dispone de una fórmula autocontenida para la solución, ésta puede aproximarse numéricamente mediante ordenadores.En la geometría euclidiana, es posible asociar un conjunto de coordenadas a cada punto del espacio, por ejemplo mediante una cuadrícula ortogonal.son las incógnitas que corresponden a las coordenadas de un punto del sistema dado por la retícula ortogonal.Aunque sigue utilizando las ecuaciones para caracterizar las figuras, también emplea otras técnicas sofisticadas como el análisis funcional y el álgebra lineal.La invención de las coordenadas cartesianas en el siglo XVII por René Descartes (nombre latinizado: Cartesius) revolucionó las matemáticas al proporcionar el primer vínculo sistemático entre la geometría euclidiana y el álgebra.Utilizando el sistema de coordenadas cartesianas, las formas geométricas (como las curvas) pueden describirse mediante ecuaciones cartesianas: ecuaciones algebraicas que implican las coordenadas de los puntos situados en la forma.Por ejemplo, un círculo de radio 2 en un plano, centrado en un punto particular llamado el origen, puede ser descrito como el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas x e y satisfacen la ecuación x2 + y2 = 4.