Tal estructura nos permitirá definir la multiplicación por escalares complejos de un modo canónico, permitiéndonos tratar así a V, que en un principio era solo un espacio vectorial real, como un espacio vectorial complejo.
Las estructuras complejas tienen aplicación en representación de grupos y en geometría compleja, donde juegan un papel esencial en la definición de variedades casi complejas.
Una estructura compleja sobre un espacio vectorial real V es un endomorfismo J : V → V que cumple Aquí, J2 significa J compuesto consigo mismo y idV es la identidad sobre V. Recordemos que al ser V un espacio vectorial real, en él sólo está en principio definida la multiplicación por escalares reales.
Esto nos recuerda el efecto de la multiplicación por la unidad imaginaria i en los espacios vectoriales complejos.
Para ello será necesario definir la multiplicación por escalares complejos de este modo: para todo número real x,y y todo vector v en V.