Geometría compleja
En matemáticas, la geometría compleja es el estudio de las estructuras y construcciones geométricas que surgen de los números complejos o están descritas por ellos.
En particular, se ocupa del estudio de espacios tales como variedades complejas y variedades algebraicas complejas, funciones de múltiples variables complejas y construcciones holomorfas como haces de vectores holomorfos y paquetes coherentes.
La geometría compleja tiene aplicaciones importantes en la física teórica, donde es esencial para comprender la teoría conforme de campos; y la teoría de cuerdas y su simetría especular.
Por ejemplo, mientras que las variedades diferenciables admiten particiones de la unidad, colecciones de funciones suaves que pueden ser idénticamente iguales a uno en algún conjunto abierto, e idénticamente cero en otros lugares, las variedades complejas no admiten tales colecciones de funciones holomorfas.
En cierto sentido, la novedad de la geometría compleja puede remontarse a esta observación fundamental.
es, después de olvidar su estructura compleja, isomorfo al plano real
En particular, el teorema GAGA de Serre afirma que cada variedad analítica proyectiva es en realidad una variedad algebraica, y el estudio de datos holomórficos en una variedad analítica es equivalente al estudio de datos algebraicos.
En la práctica, la geometría compleja se encuentra en la intersección de la geometría diferencial, la geometría algebraica y el análisis en múltiples variables complejas, y se utilizan herramientas de los tres campos para estudiar espacios complejos.
A diferencia de las variedades complejas que siempre son suaves, la geometría compleja también se ocupa de espacios posiblemente singulares.
es singular si la matriz jacobiana del vector de funciones holomorfas
De manera similar, se puede definir una variedad algebraica compleja afín como un subconjunto
Para definir una variedad algebraica compleja proyectiva, se requiere que el subconjunto
Nuevamente también se requiere por convención que este espacio anillado localmente sea irreducible.
Dado que la definición de un punto singular es local, la definición dada para una variedad analítica/algebraica afín se aplica a los puntos de cualquier variedad analítica o algebraica compleja.
que son singulares se denomina "lugar singular", denotado
, y el complemento es el lugar geométrico no singular o suave, denotado
Según el teorema de la función implícita para funciones holomorfas, cada variedad compleja es en particular una variedad analítica compleja no singular, pero en general no es afín ni proyectiva.
Las variedades complejas se pueden estudiar desde la perspectiva de la geometría diferencial, mediante la que están equipadas con estructuras geométricas adicionales como la variedad de Riemann o el espacio vectorial simpléctico.
Para que esta estructura adicional sea relevante para la geometría compleja, se debe pedir que sea compatible con la estructura compleja en un sentido adecuado.
El teorema GAGA de Serre afirma que las variedades analíticas complejas proyectivas son en realidad algebraicas.
La variedad tórica se puede obtener como un espacio adecuado que genera un fibrado sobre el politopo.
Numerosas construcciones que se realizan sobre variedades tóricas admiten descripciones alternativas en términos de combinatoria y geometría del politopo de momento o su abanico tórico asociado.
Ejemplos de variedades tóricas incluyen los espacios proyectivos complejos y los haces sobre ellos.
Debido a la rigidez de las funciones holomorfas y de las variedades complejas, las técnicas típicamente utilizadas para estudiar variedades complejas y variedades algebraicas complejas difieren de las utilizadas en la geometría diferencial regular y están más cerca de las técnicas utilizadas en la geometría algebraica.
Por ejemplo, en geometría diferencial, muchos problemas se abordan tomando construcciones locales y uniéndolas globalmente utilizando particiones de la unidad.
Las particiones de la unidad no existen en la geometría compleja, por lo que el problema de cuándo los datos locales pueden unirse a los datos globales es más sutil.
Por ejemplo, problemas famosos en el análisis de varias variables complejas que precedieron a la introducción de definiciones modernas son los problemas de Cousin, que preguntan con precisión cuándo se pueden unir datos meromórficos locales para obtener una función meromórfica global.
La clasificación en geometría compleja y algebraica a menudo se aborda mediante el estudio del espacio de módulos, que a su vez son variedades o variedades complejas cuyos puntos clasifican otros objetos geométricos que surgen en geometría compleja.
El término módulos fue acuñado por Bernhard Riemann durante su trabajo original en las superficies que llevan su nombre.
La variedad de Picard se puede describir fácilmente en el caso en que
