Simetría especular (teoría de cuerdas)

Físicos como Philip Candelas, Gary Horowitz, Andrew Strominger, Edward Witten, Brian Greene, Ronen Plesser, Monika Lynker y Rolf Schimmrigk, entre otros, descubrieron originalmente la simetría especular en este contexto particular.

Puesto que su espacio-tiempo debe ser de cuatro dimensiones a la escala del experimento, se debe buscar la manera de restringir las dimensiones adicionales a escalas más pequeñas.

Una analogía común para visualizar esta situación es considerar un objeto multidimensional como una manguera de jardín.

[nb 3]​ La compactación puede ser utilizada para construir modelos en los que, a efectos prácticos, el espacio-tiempo es de cuatro dimensiones.

Sin embargo, no todas las formas de compactar las dimensiones extra producen un modelo con las propiedades adecuadas para describir el mundo natural que observamos.

Para obtener un modelo viable, las dimensiones compactadas deben formar una variedad de Calabi-Yau.

[nb 4]​ En esta situación, reciben el nombre de variedades especulares, y la relación entre las dos teorías físicas se denomina simetría especular.

En general, este término se refiere a una situación en la que dos teorías físicas aparentemente diferentes resultan ser equivalentes en una forma no trivial.

[8]​ Estas dualidades juegan un papel importante en la física moderna, sobre todo en la teoría de cuerdas.

[10]​ En la teoría de cuerdas, la simetría especular se justifica con un razonamiento basado en la física.

[11]​ Sin embargo, los matemáticos generalmente requieren pruebas rigurosas que no necesiten de una apelación a la intuición física.

[27]​[28]​ En 1990 los físicos Philip Candelas, Paul Green y Linda Parkes junto con la matemática Xenia de la Ossa mostraron que la simetría especular se podría utilizar para resolver problemas de geometría enumerativa[29]​ a los que no se había podido hallar solución durante décadas.

[30]​ Estos resultados fueron presentados en una conferencia en el Mathematical Sciences Research Institute o MSRI en Berkeley, California, en mayo de 1991.

Durante la disertación, se observó que uno de los números que Candelas había calculado para el recuento de curvas racionales no concordaba con el obtenido por los matemáticos noruegos Geir Ellingsrud y Stein Arild Strømme usando técnicas consideradas hasta entonces como más rigurosas.

[33]​[34]​ Este enunciado se utiliza como definición general de la simetría especular en la literatura matemática.

[36]​ En 1995, también Kontsévich analizó los resultados de Candelas, lo que condujo a una fórmula general para el problema de contar curvas racionales en un quíntico triple y reformuló estos resultados como una conjetura matemática precisa.

Posteriormente Bong Lian, Kefeng Liu y Shing-Tung Yau publicaron una prueba independiente en una serie de documentos.

[15]​[16]​[17]​[18]​ A pesar de la controversia sobre quién había publicado la primera prueba, todos estos artículos se consideran colectivamente como la prueba matemática de los resultados obtenidos en física utilizando la simetría especular.

[38]​ En 2000, Kentaro Hori y Cumrun Vafa publicaron otra prueba física basada en la dualidad T.[11]​ El trabajo en simetría especular continúa con importantes desarrollos en el estudio de las cuerdas en superficies con fronteras.

Uno de sus primeros problemas fue planteado en torno al año 200 a. C. por el matemático griego Apolonio, quien se preguntó cuántos círculos son tangentes a tres circunferencias dadas en el plano.

Los matemáticos del siglo xix Arthur Cayley y George Salmon llegaron al resultado de que hay exactamente 27 líneas rectas contenidas en su totalidad en esta superficie.

El matemático alemán del siglo xix Hermann Schubert, calculó que hay exactamente 2875 de estas líneas.

Según el matemático Marcos Gross, «Como se habían resuelto los viejos problemas, la gente volvió a ponerse a verificar los números de Schubert con técnicas modernas, pero la cosa se estaba poniendo muy aburrida».

En el modelo B, los cálculos pueden reducirse a integrales clásicas y son mucho más fáciles.

La simetría especular se puede combinar con otras dualidades para simplificar los cálculos en un modelo mediante su transformación en operaciones más simples en otro modelo relacionado con el primero por la dualidad y permite así obtener cantidades que son imposibles de estimar de otro modo.

La letra «D» en D-brana se asocia a la frontera de Dirichlet, que debe satisfacerse.

En términos generales, pertenecen a lo que los matemáticos conocen como subvariedades especiales de Lagrange.

[58]​ En 1996, Andrew Strominger, Shing-Tung Yau, y Eric Zaslow sugirieron otro enfoque para comprender la simetría especular,[23]​ conocido posteriormente como la conjetura SYZ; el método consiste en dividir una variedad de Calabi-Yau en piezas más simples y transformarlas separadamente para conseguir la variedad de Calabi-Yau especular.

Aumentando de dos a cuatro dimensiones reales, esta variedad Calabi-Yau se convierte en una superficie K3.

Tales variedades se pueden dividir en 3-toros ―objetos definidos como la generalización de un toro en tres dimensiones― parametrizados por una 3-esfera