Índice (análisis complejo)

En matemática, el índice de una curva cerrada en el plano alrededor de un punto que no se encuentre en la curva, es un entero que representa el número total de vueltas que la curva describe alrededor del punto.

Las vueltas realizadas en sentido antihorario cuentan como positivas, mientras que las realizadas en sentido horario contabilizan como negativas.

Así, por ejemplo, si un objeto que recorra la curva describe alrededor del punto cuatro vueltas en sentido antihorario y finalmente una en sentido horario, diremos que el índice de la curva alrededor del punto p es tres.

El índice (winding number en inglés) es un objeto fundamental de estudio en topología algebraica, y desarrolla un importante papel en cálculo vectorial, análisis complejo, topología geométrica, geometría diferencial, y física.

Aunque intuitivamente el índice de una curva respecto a un punto es el número de vueltas que da la curva a ese punto, la definición formal es la siguiente.

una curva cerrada en el plano complejo, y

un punto del plano no contenido en la imagen de la curva

donde la integración está tomada en sentido antihorario.

Las siguientes imágenes muestran curvas con índices comprendidos entre −2 y 3: Basic Complex Analysis.