El problema más importante para esta área es la existencia de métricas Kähler-Einstein para colectores Kähler compactos.
Por lo tanto, la primera clase de Chern es negativa, cero o positiva.
Shing-Tung Yau fue galardonado con su medalla Fields debido a este trabajo.
En 2012, Chen, Donaldson y Sun demostraron que en este caso la existencia es equivalente a un criterio algebro-geométrico llamado K-estabilidad.
Su prueba apareció en una serie de artículos en el Journal of the American Mathematical Society.