Ecuación diferencial

Como estas relaciones son muy comunes, las ecuaciones diferenciales juegan un rol primordial en diversas disciplinas, incluyendo la ingeniería, la física, la química, la economía y la biología.

En este caso, el problema se reduce a encontrar una función por su derivada relacionada con algunas otras expresiones.

Solo las ecuaciones diferenciales más simples se pueden resolver mediante fórmulas explícitas; sin embargo, se pueden determinar algunas propiedades de las soluciones de una cierta ecuación diferencial sin hallar su forma exacta.

Si la solución exacta no puede hallarse, esta puede obtenerse numéricamente, mediante una aproximación usando computadoras u ordenadores.

[2]​ Esta es una ecuación diferencial ordinaria de la forma para la que luego, en los siguientes años, Leibniz obtuvo sus soluciones mediante simplificaciones.

Esta ecuación en derivadas parciales es actualmente objeto de estudio en la física matemática.

Las ecuaciones diferenciales estocásticas, que amplían tanto la teoría de las ecuaciones diferenciales como la teoría de la probabilidad, fueron introducidas con un tratamiento riguroso por Kiyoshi Itō y Ruslán Stratónovich durante los años 1940 y 1950.

Es muy común que estas distinciones incluyan si la ecuación es: ordinaria/en derivadas parciales, lineal/no lineal, y homogénea/no homogénea.

Esta lista es demasiado grande; hay muchas otras propiedades y subclases de ecuaciones diferenciales las cuales pueden ser muy útiles en contextos específicos.

El adjetivo «ordinaria» se usa en contraste con la ecuación en derivadas parciales, la cual puede ser respecto a «más de» una variable independiente.

Las EDP se pueden usar para describir una amplia variedad de fenómenos tal como el sonido, el calor, la electroestática, la electrodinámica, la fluidodinámica, la elasticidad, o la mecánica cuántica.

Las ecuaciones diferenciales no lineales pueden exhibir un comportamiento muy complicado en intervalos grandes de tiempo, característica del caos.

Sin embargo, si la ecuación diferencial es una representación de un proceso físico significativo formulado correctamente, entonces se espera tener una solución.

A lo largo de esta sección, se encontrarán ecuaciones diferenciales escritas como:

Se supondrá que P y Q son funciones definidas en un rectángulo abierto

Se dice que la ecuación es diferencial exacta si existe una función R

Sin embargo, en otros casos, la solución analítica requiere técnicas de variable compleja o más sofisticadas como sucede con las integrales:

Las ecuaciones diferenciales juegan un rol muy importante en el modelado virtual de cualquier proceso físico, técnico, o biológico, por ejemplo, tanto el movimiento celeste, como el diseño de un puente, o la interacción entre neuronas.

Muchas leyes de la física y la química se formalizan con ecuaciones diferenciales.

En biología y economía, las ecuaciones diferenciales se utilizan para el modelado del comportamiento de sistemas complejos.

Sin embargo, algunas veces se originaban problemas diversos en campos científicos distintos, de los cuales resultaban ecuaciones diferenciales idénticas.

Resulta que muchos procesos de difusión, aunque aparentan ser diferentes, están descritos por la misma ecuación.

Una vez que están disponibles las relaciones independientes para cada fuerza que actúa sobre una partícula, se pueden sustituir en la segunda ley de Newton para obtener una ecuación diferencial ordinaria, la cual se denomina ecuación de movimiento.

Estos campos se volvieron fundamentales en las tecnologías eléctricas, electrónicas y de comunicaciones.

[16]​ Publicado por primera vez por Einstein en 1915[17]​ como una ecuación tensorial, las ecuaciones equiparan una curvatura espacio-tiempo local (expresada por el tensor de Einstein) con la energía y momentum local dentro del espacio-tiempo (expresado por el tensor de energía-impulso).

[18]​ En la mecánica cuántica, el análogo a la ley de Newton es la Ecuación de Schrödinger (una ecuación en derivadas parciales) para un sistema cuantificado (usualmente átomos, moléculas, y partículas subatómicas que pueden estar libres, ligadas, o localizadas).

En torno al siglo XVIII se quería conocer el modo en que la población variaba para predecir posibles cambios.

se calculan para cada población tomando dos medidas en dos instantes de tiempo distintos.

que pueden ser significativos y cambiar de forma considerable los resultados del modelo para tiempos grandes.

Verhulst propone unas modificaciones al modelo de Malthus: La población no puede crecer ilimitadamente sino que tiende a estabilizarse en un límite