Ecuaciones de Lotka-Volterra

Las ecuaciones de Lotka-Volterra, también conocidas como ecuaciones predador-presa o presa-predador, son un par de ecuaciones diferenciales de primer orden no lineales que se usan para describir dinámicas de sistemas biológicos en el que dos especies interactúan, una como presa y otra como depredador.Las ecuaciones fueron propuestas de forma independiente por Alfred J. Lotka en 1925 y Vito Volterra en 1926.[1]​[1]​ Esta fue efectivamente la ecuación logística,[2]​ derivada originalmente por Pierre François Verhulst.[3]​ En 1920, Lotka extendió el modelo, a través de Andrey Kolmogorov, a "sistemas orgánicos" usando una especie de planta y una especie de animal herbívoro como ejemplo[4]​ y en 1925 usó las ecuaciones para analizar las interacciones depredador-presa en su libro sobre biomatemáticas.[6]​[10][7]​ La investigación de Volterra se inspiró en sus interacciones con el biólogo marino Umberto D'Ancona, quien estaba cortejando a su hija en ese momento y luego se convertiría en su yerno.[8]​ Supongamos que hay dos especies de animales, un babuino (presa) y un guepardo (depredador).Esto corresponde a eliminar el tiempo de las dos ecuaciones diferenciales anteriores para producir una sola ecuación diferencial relacionar las variables x y y .En el sistema modelo, los depredadores prosperan cuando hay presas abundantes, pero, en última instancia, superan su suministro de alimentos y disminuyen.Estas dinámicas continúan en un ciclo poblacional de crecimiento y declive.La primera solución representa efectivamente la extinción de ambas especies.Si ambas poblaciones están en 0, entonces seguirán estándolo indefinidamente.La segunda solución representa un punto fijo en el que ambas poblaciones mantienen sus números actuales distintos de 0 y, en el modelo simplificado, lo hacen indefinidamente.La estabilidad del punto fijo en el origen se puede determinar realizando un linealización usando derivadas parciales.En el modelo α y γ son siempre mayores que cero y, como tal, el signo de los valores propios anteriores siempre será diferente.(De hecho, esto solo podría ocurrir si la presa fuera completamente erradicada artificialmente, causando que los depredadores mueran de hambre.Si los depredadores fueran erradicados, la población de presas crecería sin límites en este modelo simple).Evaluando J en el segundo punto fijo conduce aComo los valores propios son puramente imaginarios y conjugados entre sí, este punto fijo debe ser un centro para órbitas cerradas en la vecindad local o una espiral atractiva o repulsiva.En los sistemas conservativos, debe haber órbitas cerradas en la vecindad local de puntos fijos que existen en los mínimos y máximos de la cantidad conservada.Así, las órbitas alrededor del punto fijo son cerradas y elípticas, entonces las soluciones son periódicas, oscilando en una pequeña elipse alrededor del punto fijo, con una frecuencia, se puede encontrar para las órbitas cerradas cerca del punto fijo.El incremento de K mueve una órbita cerrada más cerca del punto fijo.K se obtiene resolviendo el problema de optimización:Usando las series de Taylor se obtiene una solución lineal a las ecuaciones:Con estos coeficientes se puede estudiar los modelos de competición, enfermedad y mutualismo (biología) en un ecosistema.Se asume que las presas tienen suministro de comida ilimitado por tiempo definido, y se reproducen exponencialmente a menos que exista algún predador.Este crecimiento exponencial está representado en la ecuación por el término αx.Si x o y son cero no existe interacción.Se puede interpretar la ecuación como el cambio del número de presas viene dado por su propio crecimiento menos la tasa de encuentros con predadores.En esta ecuación, δxy representa el crecimiento de los depredadores (fíjese en la similitud con la ecuación para las presas, pero en este caso para el crecimiento de los depredadores es necesario usar la razón a la que se consumen las presas, x).