Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación diferencial ordinaria donde intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable independiente.
Es una relación en la que intervienen la variable dependiente, la función incógnita y su derivada de primer orden.
[1] Estas ecuaciones, junto con su condición inicial, se pueden encontrar expresadas en forma explícita, llamada también "ecuación resuelta respecto a su primera derivada" [2] en esta forma: (1a)
Si mediante operaciones algebraicas es posible expresar la ecuación diferencial en la siguiente forma: (2a)
Se dirá que es una ecuación diferencial de variables separables.
Para resolver este tipo de ecuaciones basta con integrar en cada miembro: (2b)
Es homogénea siempre que la función f no dependa de x e y aisladamente, sino únicamente de sus razones y/x o bien x/y.
Así pues las ecuaciones homogéneas adoptan la forma:[3] (3a)
Se dice que una ecuación es homogénea si la función f(x, y) es fraccionaria y además el grado de los polinomios de numerador y denominador son los mismos.
Así se procede dividiendo tanto numerador como denominador por
en función de qué cambio haga más simple su resolución.
Llegados a este caso según la elección se puede optar por uno de los dos cambios análogos, que son:
Así se simplifica enormemente y suele quedar separable.
Para finalizar solo resta deshacer el cambio, sustituyendo las u(x,y) por su valor como función que se ha establecido.
introduciendo la variable u = y/x; la solución de la anterior ecuación viene dada por: (3b)
La ecuación diferencial lineal de primer orden tiene la forma: (4a)
Y la solución de la misma viene dada por: (4b)
Una ecuación de Bernoulli es aquella que tiene la forma: (5a)
, se resuelve mediante una sustitución: Primero, reescribiendo la ecuación pasando cada denominador a multiplicar al otro lado de la igualdad:
Por tanto, es posible realizar una sustitución de tipo racional.
Por tanto, hace falta representar esta solución en términos de las variables originales (
Entonces, expresando la solución en términos de la variables originales, queda como:
Recordando que cualquier forma de representar la solución es correcta.
Sin embargo, si es posible no representarla en fracciones, se recomienda desarrollar hasta eliminarlas.
Primero verifique que la ecuación es de la forma
Por tanto, es necesario dividir todos los términos de la ecuación entre
Ahora, véase que la ecuación es de la forma
Primero calcule el valor de μ, recordando que
Por tanto, sustituyendo μ y a f en la formula para obtener la solución de la ecuación:
Y esta es la solución general de la ecuación diferencial.