La ecuación diferencial de Bernoulli es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, formulada por Jacob Bernoulli.
Esta ecuación fue transformada, por Gottfried Leibniz en 1693 y por Johann Bernoulli en 1697, en una ecuación diferencial lineal de primer orden mediante el cambio de variable
, esta ecuación es de la forma
d y
( x ) y =
{\displaystyle Q(x)}
son funciones continuas en un intervalo abierto
( a , b ) ⊆
{\displaystyle (a,b)\subseteq \mathbb {R} }
Dividimos la ecuación diferencial entre
y obtenemos o, equivalentemente Definiendo
obtenemos las igualdades o Reemplazando en la ecuación diferencial Ecuación que resulta ser una ecuación diferencial lineal cuya solución está dada por donde
es una constante arbitraria, como
entonces la ecuación se reduce a la ecuación cuya solución está dada por Cuando
entonces la ecuación se reduce a que puede resolverse mediante variables separables, dicha solución está dada por Para resolver la ecuación: (*)
Se hace el cambio de variable
, que introducido en (*) da simplemente: (**)
Multiplicando la ecuación anterior por el factor:
se llega a:
Si se sustituye (**) en la última expresión y operando:
{\displaystyle -{\frac {z'}{z^{2}}}+{\frac {2}{x}}{\frac {1}{z}}={\frac {2x^{3}}{z^{2}}}\quad \Rightarrow \quad z'-{\frac {2z}{x}}=-2x^{3}}
Que es una ecuación diferencial lineal que puede resolverse fácilmente.
Primeramente se calcula el factor integrante típico de la ecuación de Bernouilli:
d x
Y se resuelve ahora la ecuación:
Deshaciendo ahora el cambio de variable:
Teniendo en cuenta que el cambio que hicimos fue
y ( x
y ( x ) =
{\displaystyle {\frac {1}{y(x)^{2}}}=C_{1}x^{2}-x^{4}\quad \Rightarrow \quad y(x)={\frac {\pm 1}{\sqrt {C_{1}x^{2}-x^{4}}}}}