Mecánica hamiltoniana
Las ecuaciones del movimiento en mecánica lagrangiana se conocen como ecuaciones de Euler-Lagrange y se construyen a partir de una función L, llamada lagrangiano, que es igual a la energía cinética menos la energía potencial.
Aunque su forma en un sistema de referencia general con coordenadas generalizadas
La mecánica hamiltoniana es un enfoque básicamente equivalente al anterior, donde las ecuaciones del movimiento vienen dadas por un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, que se escriben en función de una función H llamada hamiltoniano (que en ciertos casos puede interpretarse como la energía total del sistema, es decir, la suma de energía cinética y energía potencial).
Esta reducción del orden del sistema se logra substituyendo variables de las velocidades generalizadas por unas variables abstractas de momentum (también conocidas como momentos conjugados).
Así por cada velocidad generalizada, hay un momento conjugado correspondiente, definido como:
Si el potencial asociado al lagrangiano no depende explícitamente de la velocidad, el momento conjugado corresponde al momento usual, utilizado en mecánica Newtoniana.
El hamiltoniano es la transformación de Legendre del lagrangiano: (1)
Aunque en ocasiones, puede haber poco ahorro de trabajo en solucionar un problema con el enfoque hamiltoniano respecto al enfoque lagrangiano ya que, en última instancia, se producirá la misma solución que la mecánica lagrangiana y las leyes de Newton del movimiento.
Deja invariantes las ecuaciones de Euler-Lagrange, en cambio en mecánica hamiltoniana existen transformaciones del tipo:
Esto es importante ya que en muchos problemas mecánicos los cambios de coordenadas se usan para dejar las ecuaciones del movimiento en una forma algebraica más sencilla de integrar.
El corchete de Poisson, en coordenadas canónicas, está definido como: (4)
Puede verse que formalmente el corchete de Poisson es una aplicación del espacio de funciones definidas sobre el espacio fásico:
en el espacio fásico, tal que en las nuevas coordenadas las ecuaciones de Hamilton para la evolución temporal siguen conservando la forma canónica.
[1] Consideremos una región del espacio fásico que evoluciona con el tiempo al desplazarse sobre su trayectoria cada uno de sus puntos se transforma al cabo del tiempo en una región de forma diferente ubicada, además, en otra parte del espacio fásico.
La invariancia del volumen puede probarse de manera relativamente sencilla usando que la propia evolución temporal puede verse como una transformación canónica, y dado que estas preservan el volumen se sigue el teorema de Liouville para la evolución temporal.
[2] La mecánica hamiltoniana admite una formulación muy elegante en el lenguaje de la geometría diferencial.
En esta formulación abstracta se construye una variedad simpléctica
es una 2-forma cerrada y no degenerada que permitirá definir el corchete de Poisson del sistema (y también el álgebra de Poisson del sistema).
Esta 2-forma permite construir además una biyección entre el espacio vectorial tangente y el espacio cotangente de 1-formas de la variedad simpléctica:
, las ecuaciones de Hamilton se representan simplemente como: (5)
que defina un conjunto de coordenadas canónicamente conjugadas tal como establece el Teorema de Darboux, podemos escribir en esas coordenadas:
a través de la ecuación (5) un campo vectorial continuo sobre toda la variedad simpléctica.
Esas curvas definen una foliación unidimensional o flujo hamiltoniano sobre la variedad.
De hecho la anterior aplicación es una transformación canónica o simplectomorfismo.
Si consideramos cualquier magnitud física definida como una función diferenciable sobre la variedad simpléctica, su variación a lo largo de una trayectoria, viene dada por la siguiente derivada temporal:
Tal como se demuestra más adelante.
Fijada una distribución ρ esta en general "evolucionará" con el tiempo según la ley: (6)
Esta última expresión se llama ecuación de Liouville, en particular una distribución tal que el corchete de Poisson con el hamiltoniano se anule se llama distribución estacionaria.
Cada función diferenciable G, sobre la variedad simpléctica genera una familia uniparamétrica de simplectomorfismos y si {G, H}=0, entonces G se conserva y los simplectomorfismos son transformaciones de simetría.
En esta formulación alternativa un estado es una funcional lineal continua en el álgebra de Poisson
