En matemáticas, una ecuación integral es aquella ecuación en la que una función desconocida aparece en el integrando.
La ecuación integral más básica es la ecuación de Fredholm de primer tipo (o primera clase) dada por:[1] donde: Nótese que los límites de integración son constantes, esto precisamente es lo que caracteriza a una ecuación de Fredholm.
Si la función desconocida, en ocasiones llamada función incógnita, aparece también fuera de la integral, entonces se tiene la ecuación de Fredholm de segundo tipo El parámetro
es un número desconocido que desempeña el mismo papel que el de un autovalor en álgebra lineal.
Si uno de los límites de integración es variable entonces la ecuación es llamada ecuación de Volterra, las siguientes dos ecuaciones son conocidas como ecuaciones de Volterra de primer y segundo tipo respectivamente: En todo lo anterior, si la función
es idénticamente nula, la ecuación integral se llama ecuación integral homogénea.
, entonces se trata de una ecuación integral no homogénea.
Las ecuaciones integrales se clasifican según tres criterios dicotómicos que combinados dan ocho tipos de ecuaciones diferentes: Las ecuaciones integrales son importantes en muchas aplicaciones.
Tanto las ecuaciones de Fredholm como las de Volterra, son ejemplos de ecuaciones integrales lineales, debido a la linealidad de la integral respecto a la función incógnita
Un ejemplo de ecuación lineal de Volterra no lineal tendría la forma general: donde
existe entonces podremos encontrar la solución a la ecuación integral en la forma de una serie de potencia donde son la transformada
es la transformada de Mellin del Kernel.
Haciendo el límite continuo mediante el cambio de los índices discretos
han sido substituidos por el "núcleo integral"
(los límites de la integral son fijos de manera análoga a la suma sobre
, entonces la ecuación integral se reduce a una ecuación diferencial de autovalores.
La formulación de muchos problemas matemáticos y físicos puede plantearse directamente en forma de ecuación integral.
Incluso en ocasiones puede interesar convertir una ecuación diferencial en una ecuación integral equivalente, con la ventaja de que la ecuación integral, aparte de incluir las condiciones de contorno, maneja un operador acotado (de hecho, frecuentemente, un operador compacto), mientras que el operador diferencial era en general no acotado.
Esto último permite echar mano de varios resultados conocidos para operadores compactos para resolver un problema planteado en términos de ecuaciones integrales.
, el problema de valor inicial siguiente: puede convertirse en una ecuación integral integrando entre
y usando los valores iniciales en el punto a: Integrando otra vez más: Utilizando las siguientes identidades y definiciones: La ecuación (1a) puede escribirse como ecuación integral de Volterra de segunda clase: Para una ecuación de orden
con condiciones iniciales: se tiene una misma forma pero la forma para g0(x) y k(x,y) es más complicada.
De manera similar al caso anterior, dadas tres funciones
definidas en el intervalo [a, b], el problema de contorno siguiente: Puede expresarse como ecuación integral de tipo Fredholm: donde: