Ecuación del calor

, el enunciado clásico es[1]​ para el caso en que no existe una fuente de energía dondees la difusividad térmica, que es una propiedad del material.En forma general, para utilizar en cualquier sistema de coordenadas, la ecuación es:u ( x , y , z , t ){\displaystyle u(x,y,z,t)}En tratados matemáticos es común considerar el caso en queEsta forma es más general y particularmente útil para analizar cómo las diversas propiedades (La ecuación del calor es de una importancia fundamental en numerosos y diversos campos de la ciencia.En el ámbito de las matemáticas, son las ecuaciones parabólicas en derivadas parciales por antonomasia.En el campo de la estadística, la ecuación del calor está vinculada con el estudio del movimiento browniano a través de la ecuación de Fokker–Planck.En una dimensión, el gradiente es una derivada espacial ordinaria, y así la ley de Fourier es, En ausencia de trabajo realizado, un cambio en la energía interna por unidad de volumen en el material,, es proporcional al cambio de la temperatura,es el operador de diferencia ordinario, no el Laplaciano).es la densidad de masa del material.Definiendo que la energía es nula cuando la temperatura es el cero absoluto, se puede reescribir como:El incremento en energía interna en una pequeña región espacial del material sobre un lapso de tiempo está dado por[n. 1]​ donde se utilizó el teorema fundamental del cálculo.Si no hay trabajo realizado, y no hay fuentes de calor, el cambio en la energía interna en el intervaloqueda completamente definido por el flujo de calor que atraviesa los contornos.Según la ley de Fourier, esto es otra vez por el teorema fundamental del cálculo.[n.2]​ Aplicando conservación de la energía, Esto es verdadero para cualquier región rectangularPor el lema fundamental del cálculo variacional, el integrando debe desvanecer a: El cual puede reescribirse como: o: el cual es la ecuación del calor, donde el coeficiente (comúnmente denominado α) se conoce como la difusividad térmica.Se puede agregar un término más a la ecuación para tener en cuenta las pérdidas de calor por radiación, fenómeno que depende del exceso de temperaturaen algún punto dado comparado con el entorno.Si el medio no es todo el espacio, entonces para resolver la ecuación de calor se necesita solo que se especifiquen las condiciones de contorno para u.Para determinar la unicidad de las soluciones en todo el espacio se necesita suponer una cota exponencial sobre el crecimiento de las soluciones.Generalmente, muchos estados diferentes y condiciones iniciales tienden al mismo equilibrio estable.La ecuación del calor es un ejemplo prototipo de una ecuación diferencial en derivadas parciales del tipo parabólico Usando el operador de Laplace, la ecuación se puede simplificar, y generalizar a ecuaciones similares en el espacio de un número arbitrario de dimensiones: donde el operador de Laplace puede ser Δ o ∇2, la divergencia del gradiente, se toma en las variables espaciales.La ecuación del calor gobierna la difusión de calor, es decir, es otro proceso de difusión, tal como la difusión de partículas o la propagación del potencial de acción en células neuronales.Sin embargo no son de naturaleza difusiva, algunos problemas de mecánica cuántica también están gobernadas por una ecuación análoga a la ecuación del calor (ver más adelante).También puede utilizarse para modelar algunos problemas en finanzas, como por ejemplo en los procesos de Black-Scholes o Ornstein-Uhlenbeck.