Una ecuación parabólica en derivadas parciales es una ecuación diferencial parcial de segundo orden del tipo y se utilizan para describir una gran variedad de fenómenos dependientes del tiempo, como la conducción del calor, la difusión de partículas y el preciación de instrumentos de inversión derivados.
Para definir el tipo más simple de EDP parabólica, considere una función de valor real
de dos variables reales independientes,
representa el tiempo, y la EDP se resuelve sujeta a condiciones iniciales y de contorno prescritas.
El nombre "parabólica" se utiliza porque la suposición sobre los coeficientes es la misma que la condición para que la ecuación de geometría analítica
Unos ejemplos básicos de una EDP parabólica es la ecuación del calor unidimensional donde
a lo largo de una varilla delgada, y
es una constante positiva (la difusividad térmica).
significa la derivada parcial de
es la segunda derivada parcial con respecto a
en la EDP lineal general de segundo orden:
, y los otros coeficientes son cero.
La ecuación del calor dice, a grandes rasgos, que la temperatura en un momento y punto dados sube o baja a un ritmo proporcional a la diferencia entre la temperatura en ese punto y la temperatura media cerca de ese punto.
mide lo lejos que está la temperatura de satisfacer la propiedad del valor medio de las funciones armónicas.
Por ejemplo, el flujo de calor a través de un cuerpo material se rige por la ecuación del calor tridimensional, donde denota el operador de Laplace que actúa sobre
Esta ecuación es el prototipo de una EDP parabólica multidimensional.
es un operador elíptico sugiere una definición más amplia de una EDP parabólica: donde
es un operador elíptico de segundo orden.
debe ser positivo; más adelante se considera un caso en el que
Un sistema de ecuaciones diferenciales parciales para un vector
Por ejemplo, un sistema de este tipo se esconde en una ecuación de la forma Las EDP parabólicas también pueden ser no lineales.
Por ejemplo, la ecuación de Fisher es una EDP no lineal que incluye el mismo término de difusión que la ecuación del calor, pero incorpora un término de crecimiento lineal y un término de decaimiento no lineal.
Bajo supuestos amplios, un problema inicial/de valores límite para una EDP lineal parabólica tiene solución para todo el tiempo.
, es generalmente más suave que los datos iniciales
Para una EDP parabólica no lineal, una solución de un problema inicial/de valor límite podría explotar en una singularidad dentro de una cantidad finita de tiempo.
Puede ser difícil determinar si existe una solución para todo el tiempo, o entender las singularidades que surgen.
Generalmente se suele encontrar ocasionalmente con la llamada EDP parabólica regresiva, que toma la forma
(nótese la ausencia del signo menos).
Un problema de valor inicial para la ecuación de calor regresiva, es equivalente a un problema de valor final para la ecuación ordinaria del calor, De manera similar a un problema de valor final para una EDP parabólica, un problema de valor inicial para una EDP parabólica hacia atrás no suele estar bien planteado (las soluciones a menudo crecen sin límites en tiempo finito, o incluso no existen).