En análisis matemático, una ecuación elíptica en derivadas parciales es una ecuación diferencial parcial tal que los coeficientes de las derivadas de grado máximo son positivas.
Por ejemplo, una ecuación elíptica de segundo orden tiene la forma: donde la matriz
: se dice operador elíptico si para cada
no nulo se tiene: En muchas aplicaciones se tiene un requisito más exigente, la condición de elipticidad uniforme, que se aplica a operadores de grado par: donde
Se observa que la elipticidad depende solo de los términos de grado máximo.
Un operador no lineal: es elíptico si su desarrollo de primer orden en serie de Taylor respecto a
(y sus derivadas) es un operador lineal elíptico.
es un operador diferencial genérico (no lineal) definido sobre un fibrado vectorial.
Reemplazando las derivadas covariantes con una nueva variable se obtiene el símbolo
de los operadores respecto a la 1º-forma
es un isomorfismo lineal para cada campo covectorial
es fuertemente elíptico si para cualquier constante
Un importante ejemplo de un operador elíptico es el Laplaciano.
Ecuaciones de la forma: se dicen que son ecuaciones en derivadas parciales de tipo elíptico si
Las ecuaciones en derivadas parciales que involucran al tiempo, como por ejemplo la ecuación del calor y la ecuación de Schrödinger, contienen operadores elípticos que involucran a las variables espaciales, así como las derivadas con respecto al tiempo.
Las soluciones, que se denominan funciones armónicas, tienden a ser funciones suaves si los coeficientes en el operador son continuas.
, que da: es un operador uniformemente elíptico.