En análisis matemático, una ecuación diferencial parcial elíptica es una ecuación en derivadas parciales tal que los coeficientes de las derivadas de grado máximo son positivos.
A veces es conveniente trabajar con definiciones que son válidas solo en contextos específicos, en lugar de utilizar definiciones generales.
distinto de cero se tiene que: En muchas aplicaciones se requiere un requisito más estricto, la condición de elipticidad uniforme, que se aplica a los operadores de grado par: donde
Se observa que la elipticidad depende solo del término de grado máximo.
Una definición alternativa para los operadores de segundo orden no lineales es la dada por Caffarelli-Niremberg-Spruck: Sea
se indica como una matriz simétrica, definita no negativa.
de la función u se indica con la matriz hessiana.
un operador diferencial genérico (no lineal) definido en un fibrado vectorial.
Reemplazar la derivada covariante con una nueva variable produce el símbolo
es un isomorfismo lineal para cualquier campo de cobertura
En particular, para cada vector distinto de cero: se cumple la siguiente condición de elipticidad: Para muchos usos, esta condición no es lo suficientemente fuerte y, por lo tanto, debe reemplazarse por una condición de elipticidad uniforme: donde
Las ecuaciones diferenciales parciales habituales que involucran el tiempo, como la ecuación del calor y la ecuación de Schrödinger, también contienen operadores elípticos que involucran variables espaciales, así como sus derivadas en función del tiempo.
Los operadores elípticos son característicos de la teoría del potencial.
, los operadores de Pucci están bien definidos: y donde
, entonces se cumple la siguiente propiedad fundamental: Por lo dicho, los operadores de Pucci se denominan operadores extremales o extremos.
[2] Para las ecuaciones definidas por operadores elípticos, existen varios teoremas de existencia.
un operador elíptico apropiado no necesariamente lineal actuando sobre un espacio funcional, la ecuación se puede escribir en la forma
es el tamaño del espacio donde se está trabajando.
Entonces, gracias a los teoremas de inmersión de Sóbolev, es posible probar que tales soluciones débiles corresponden a soluciones clásicas.
Dada la ecuación entonces bajo hipótesis apropiadas de regularidad del dominio
se tiene la existencia y unicidad de la solución clásica.
es la función de Green del operador laplaciano en el dominio
es regular (con respecto al laplaciano) si hay una barrera en ese punto.
[6] En un dominio con contorno lipschitziano continuo, todos los puntos del borde son regulares.
sea un punto regular (con respecto al laplaciano).
, el problema de Dirichlet mencionado anteriormente admite una solución clásica y única
Dada la ecuación entonces bajo hipótesis apropiadas de regularidad del dominio
se deduce la existencia y la unicidad de la solución clásica.
un conjunto abierto acotado con frontera regular y sea
una función continua que satisfaga las siguientes condiciones: tiene una solución (débil)