En dinámica de fluidos, la ecuación general de transferencia de calor es una ecuación diferencial parcial no lineal que describe la producción específica de entropía en un fluido newtoniano sometido a conducción térmica y fuerzas viscosas:[1][2]
{\displaystyle \rho T{\frac {Ds}{Dt}}=\nabla \cdot (k\nabla T)+{\frac {\mu }{2}}\left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {2}{3}}\delta _{ij}\nabla \cdot {\bf {v}}\right)^{2}+\zeta (\nabla \cdot {\bf {{v})^{2}}}}
Si la velocidad del flujo es despreciable, la ecuación general de transferencia de calor se reduce a la ecuación estándar del calor.
También puede aplicarse a flujos estratificados en rotación, como los que se encuentran en la dinámica de fluidos geofísicos.
[3] Para un fluido viscoso newtoniano, las ecuaciones que rigen la conservación de la masa y el momento son la ecuación de continuidad y las ecuaciones de Navier-Stokes:
{\displaystyle {\begin{aligned}{\partial \rho \over {\partial t}}&=-\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})\\\rho {D{\bf {v}} \over {Dt}}&=-\nabla p+\nabla \cdot \sigma \end{aligned}}}
es el tensor de tensión viscoso, con los componentes del tensor de esfuerzo viscoso dados por:
En un fluido ideal, como el descrito por las ecuaciones de Euler, la conservación de la energía viene definida por la ecuación:
Sin embargo, para que la conservación de la energía se cumpla en un fluido viscoso sujeto a conducción térmica, el flujo de energía debido a la advección
debe complementarse con un flujo de calor dado por la ley de Fourier
y un flujo debido a la fricción interna
Obsérvese que las relaciones termodinámicas para la energía interna y la entalpía vienen dadas por:
También podemos obtener una ecuación para la energía cinética tomando el producto punto de la ecuación de Navier-Stokes con la velocidad del flujo
{\displaystyle \rho {Dk \over {Dt}}=-{\bf {v}}\cdot \nabla p+v_{i}{\partial \sigma _{ij} \over {\partial x_{j}}}}
El segundo término del lado derecho puede ampliarse de la siguiente manera:
{\displaystyle {\begin{aligned}v_{i}{\partial \sigma _{ij} \over {\partial x_{j}}}&={\partial \over {\partial x_{j}}}\left(\sigma _{ij}v_{i}\right)-\sigma _{ij}{\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}\\&\equiv \nabla \cdot (\sigma \cdot {\bf {v}})-\sigma _{ij}{\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}\end{aligned}}}
Con la ayuda de la relación termodinámica para la entalpía y el último resultado, podemos entonces poner la ecuación de la energía cinética en la forma:
Ahora expandiendo la derivada temporal de la energía total, tenemos:
Entonces expandiendo cada uno de estos términos, encontramos que:
Y recogiendo términos, nos quedamos con:
{\displaystyle {\partial \over {\partial t}}\left[\rho (k+\varepsilon )\right]+\nabla \cdot \left[\rho {\bf {v}}(k+h)-\sigma \cdot {\bf {v}}\right]=\rho T{Ds \over {Dt}}-\sigma _{ij}{\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}}
Añadiendo ahora la divergencia del flujo de calor debido a la conducción térmica a cada lado, tenemos que:
Sin embargo, sabemos que por la conservación de la energía en el lado izquierdo es igual a cero, lo que nos deja con:
El producto del tensor de esfuerzo viscoso y el gradiente de velocidad puede expandirse como:
Así se llega a la forma final de la ecuación para la producción de entropía específica:
{\displaystyle \rho T{Ds \over {Dt}}=\nabla \cdot (\kappa \nabla T)+{\mu \over {2}}\left({\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}+{\partial v_{j} \over {\partial x_{i}}}-{2 \over {3}}\delta _{ij}\nabla \cdot {\bf {v}}\right)^{2}+\zeta (\nabla \cdot {\bf {v}})^{2}}
En el caso en que la conducción térmica y las fuerzas viscosas están ausentes, la ecuación para la producción de entropía se colapsa a
- mostrando que el flujo de fluido ideal es isentrópico.
Esta ecuación se deduce en la sección 49, al comienzo del capítulo sobre "Conducción térmica en fluidos" del sexto volumen del Curso de Física Teórica (Course of Theoretical Physics) de L.D.
[1] Puede utilizarse para medir la transferencia de calor y el flujo de aire en un frigorífico doméstico,[4] hacer un análisis armónico de los regeneradores,[5] o para comprender la física de los glaciares.