Ecuación algebraica
En la matemática, especialmente en el álgebra superior, una ecuación algebraica de grado superior es una ecuación de la forma P(x) = 0 donde P(x) es un polinomio no nulo ni constante, con coeficientes enteros, cuyo grado se supone n ≥ 2.
[1][2] Donde x denota un número real o complejo desconocido que la satisface, esto es, que reemplazado en P(x) da cero como resultado.
Cualquier número que satisface la ecuación se llama raíz; el problema de resolver una ecuación significa hallar todas sus raíces.
Cuando el grado del polinomio es n se dice que la ecuación correspondiente es de grado n.[3] Por ejemplo, el polinomio con coeficientes enteros.
Las resolución de esta ecuación determina las raíces de la ecuación, las cuales se interpretan geométricamente como sigue.
es una curva, donde los ceros del polinomio, si son reales, son las abscisas de los puntos de la curva donde corta al eje Ox o es tangente al mismo.
[4] Una ecuación de grado impar, si tiene por lo menos una raíz real.
Luego un punto en Ox, (x,0) para dicha raíz.
[5] Las ecuaciones algebraicas de orden superior están ya documentadas en Mesopotamia y diversas tablillas cuneiformes tratan con problemas prácticos que ofrecen la resolución de este tipo de ecuación.
Tanto los matemáticos árabes como chinos, consideraron problemas particulares en los que intervenían ecuaciones cúbicas y de órdenes superiores.
En la obra del matemático chino Li Chih (o Li Yeh, 1192-1279) se consideran incluso algunos problemas que involucran ecuaciones de sexto grado.
Sin embargo, parece que la primera solución general y sistemática de las ecuaciones de tercer y cuarto grado fue obtenida por matemáticos italianos del siglo XVI.
El estudio de soluciones generales llevó a estos matemáticos incluso a considerar por primera vez los números complejos, más frecuentemente en los cálculos intermedios necesarios para encontrar ciertos soluciones reales.
La ecuación quíntica (y las de grado superior a 5) no admitían soluciones generales construibles en términos de radicales por lo que su estudio fue más complicado y no se desarrollaron soluciones en términos de funciones trascendentes hasta el siglo XIX, por parte de matemáticos europeos.
surgen las ecuaciones de la forma de grado 1, 2, 3, 4, etc. o ecuaciones lineal, cuadrática, cúbica, cuártica, etc. Se asume que el coeficiente principal
es distinto de cero; aunque ninguna condición se establece para los demás coeficientes.
[8] Resolver ecuaciones algebraicas de una sola variable es relativamente sencillo para los grados 1 y 2.
Si k es una raíz de la ecuación se deduce del teorema del resto que P(x)es divisible por (x-k) y se cumple donde
es otra raíz distinta de k se obtiene donde
, aunque sí la admite sobre su clausura algebraica (si se trata de un cuerpo de característica nula).
Puede ser que alguna de las soluciones anteriores, definibles sobre la clausura algebraica no son números del cuerpo
(ya que contiene a la clausura algebraica de
Esto fue anticipado por Gerolamo Cardano, Tartaglia y Lodovico Ferrari, entre otros, en el siglo XVI.
Sin embargo, para grado 5 o mayor, no tiene por qué existir una solución construible mediante el método de radicales, hecho probado por Évariste Galois a principios del siglo XIX.
Por ejemplo, tomemos la ecuación de tercer grado:
tiene una raíz igual a k, para cualquier natural mayor que 1 y c, entero.
posee una raíz igual a -c para cualquier n, natural impar.
En otros términos, si el conjunto solución de la ecuación F = 0 es parte del conjunto solución de la ecuación G = 0, esta es consecuencia de la ecuación F = 0.
, el trinomio es irreduducible en el conjunto ℝ de los números reales
Precisamente el número entero 2 es una raíz, las otras dos son complejas conjugadas.
