Teoría de Galois
Galois introdujo el tema para estudiar raíces de polinomios.
Esto le permitió caracterizar las ecuaciones polinómicas que son resolubles por radicales en términos de propiedades del grupo de permutaciones de sus raíces: una ecuación es resoluble por radicales si sus raíces pueden expresarse mediante una fórmula que incluya sólo enteros, nraíces enésimas y las cuatro operaciones aritméticas básicas.
Esto generaliza ampliamente el teorema de Abel-Ruffini, que afirma que un polinomio general de grado al menos cinco no puede resolverse mediante radicales.
La teoría de Galois proporciona no solo una elegante respuesta a esta cuestión, sino que también explica en detalle por qué es posible resolver ecuaciones de grado inferior al quinto, y por qué las soluciones pueden expresarse mediante operaciones algebraicas y extracción de raíces.
Esto fue formalizado por primera vez por el matemático francés del siglo XVI François Viète, en fórmulas de Viète, para el caso de raíces reales positivas.
Véase Discriminante:Naturaleza de las raíces para más detalles.
La cúbica fue resuelta parcialmente por primera vez por el matemático italiano del siglo XV-XVI Scipione del Ferro, que sin embargo no publicó sus resultados; este método, sin embargo, sólo resolvía un tipo de ecuación cúbica.
Esta solución fue redescubierta independientemente en 1535 por Niccolò Fontana Tartaglia, quien la compartió con Gerolamo Cardano, pidiéndole que no la publicara.
En este libro, sin embargo, Cardano no proporcionó una "fórmula general" para la solución de una ecuación cúbica, ya que no tenía ni números complejos a su disposición, ni la notación algebraica para poder describir una ecuación cúbica general.
Fue Rafael Bombelli quien consiguió entender cómo trabajar con números complejos para resolver todas las formas de ecuación cúbica.
Sin embargo, no tuvo en cuenta la "composición" de las permutaciones.
El método de Lagrange no se extendía a las ecuaciones quínticas o superiores, porque el resolvente tenía un grado más alto.
En 1799, Paolo Ruffini casi demostró que la quíntica no tiene soluciones generales por radicales, y su idea clave fue utilizar grupos de permutaciones, no sólo una única permutación.
Su solución contenía una laguna, que Cauchy consideró menor, aunque ésta no fue parcheada hasta el trabajo del matemático noruego Niels Henrik Abel, que publicó una demostración en 1824, estableciendo así el Teorema de Abel-Ruffini.
Aunque Ruffini y Abel establecieron que la quíntica general no podía resolverse, algunas quínticas particulares sí pueden resolverse, como x5 - 1 = 0, y el criterio preciso por el que se podía determinar si un determinado quíntico o polinomio superior era resoluble o no fue dado por Évariste Galois, quien demostró que si un polinomio era resoluble o no era equivalente a si el grupo de permutaciones de sus raíces -en términos modernos, su grupo de Galois- tenía o no una cierta estructura -en términos modernos, si era o no un grupo resoluble-.
Dedekind escribió poco sobre la teoría de Galois, pero dio una conferencia sobre ella en Göttingen en 1858, mostrando un muy buen conocimiento.
Por ejemplo, puede suceder que para dos de las raíces, digamos A y B, la ecuación A2 + 5B3 = 7 sea cierta.
Es importante señalar que nos restringimos a ecuaciones algebraicas cuyos coeficientes son números racionales.
Pero además esto es cierto, aunque menos obvio, para cualquier ecuación algebraica que satisfacen A y B.
Otra ecuación que las raíces satisfacen es: Esto excluiría más permutaciones, como por ejemplo: Continuando de esta manera, es posible encontrar que las únicas permutaciones que satisfacen las dos ecuaciones anteriores simultáneamente son: y, por tanto, el grupo de Galois es isomorfo al grupo de Klein.
[9] Con la teoría de Galois, es posible derivar el siguiente teorema: El polinomio f(x) (en el cuerpo F) es resoluble por radicales sí y solo sí su grupo de Galois es resoluble.
Este problema, propuesto inicialmente en el siglo XIX por Hilbert, permanece sin resolver.
