Discriminante
En álgebra, el discriminante de un polinomio es una cierta expresión de los coeficientes de dicho polinomio que es igual a cero si y solo si el polinomio tiene raíces múltiples en el plano complejo.
Por ejemplo, el discriminante del polinomio cuadrático El discriminante del polinomio cúbico Este concepto también se aplica si el polinomio tiene coeficientes en un cuerpo que no está contenido en los números complejos.
En este caso, el discriminante se anula si y solo si el polinomio tiene raíces múltiples en su cuerpo de descomposición.
El concepto de discriminante ha sido generalizado a otras estructuras algebraicas además de los polinomios, incluyendo secciones cónicas, formas cuadráticas y cuerpos de números algebraicos.
Los discriminantes en la teoría de números algebraicos están fuertemente relacionados y contienen información sobre ramificaciones.
El discriminante del polinomio general es, hasta cierto factor, igual al determinante de la matriz (2n − 1)×(2n − 1) (Véase también: matriz de Sylvester)
Por El discriminante del polinomio de cuarto grado se obtiene a partir de su determinante dividiéndolo por
De forma equivalente, el discriminante es igual a donde r1,..., rn son las raíces complejas (contando su multiplicidad) del polinomio p(x): Esta segunda expresión clarifica que p tiene raíz múltiple si y solo si el discriminante es cero (la raíz múltiple puede ser compleja).
El discriminante puede definirse para polinomios en cuerpos arbitrarios de la misma manera.
La fórmula que involucra las raíces ri igue siendo válida; las raíces tienen que tomarse en un cuerpo de descomposición del polinomio.
Para una sección cónica definida por el polinomio real: el discriminante es igual a y determina la forma de la sección cónica.
Si el discriminante es menor a 0, la ecuación describe una elipse o una circunferencia.
Si el discriminante es igual a 0, la ecuación describe una parábola.
Si por el contrario es mayor a cero, la ecuación describe una hipérbola.
Esta fórmula no funciona en los casos en que el polinomio ya se ha factorizado.
Pueden expresarse como la suma de términos donde los términos Li son formas lineales y 1 ≤ i ≤ n donde n es el número de variables.
Entonces el discriminante es el producto de ai, tomado en K/K2, y está bien definido.
