Teorema de Abel-Ruffini

− 4 a c

Una solución general para cualquier ecuación cuadrática se puede obtener utilizando la fórmula cuadrática anterior.

Existen fórmulas similares para las ecuaciones polinómicas de grado 3 y 4.

Pero no hay tal fórmula para los polinomios de 5.º grado; la solución real -1,1673 ... hasta la ecuación de quinto grado de abajo no se puede escribir usando operaciones aritméticas básicas y las raíces n-ésimas:

En matemáticas el teorema de Abel-Ruffini (también conocido como Teorema de la imposibilidad de Abel) enuncia que no pueden resolverse por radicales las ecuaciones polinómicas generales de grado igual o superior a cinco.

Es decir, no es posible encontrar las soluciones de la ecuación general: de grado superior o igual a cinco, aplicando únicamente un número finito de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y extracción de raíces a los coeficientes de la ecuación.

El teorema fue nombrado por Paolo Ruffini, que hizo una prueba incompleta en 1799, y el noruego Niels Henrik Abel que proporcionó una prueba en 1823.

Évariste Galois demostró de forma independiente el teorema en una obra que fue publicada póstumamente en 1846.

[1]​ El contenido de este problema es generalmente mal entendido: La siguiente demostración está basada en la Teoría de Galois.

Uno de los teoremas fundamentales de la teoría de Galois dice que una ecuación se puede resolver en radicales si, y solo si tiene un Grupo de Galois que se puede resolver, entonces la demostración del teorema de Abel-Ruffini viene de calcular el grupo de Galois del polinomio general de quinto grado.

un número real trascendente sobre el cuerpo de los números racionales

, y sea

un número real trascendente sobre

, y así hasta

que es trascendente sobre

Estos números son llamados elementos trascendentes independientes sobre

y sea

f ( x ) = ( x −

{\displaystyle f(x)=(x-y_{1})(x-y_{2})(x-y_{3})(x-y_{4})(x-y_{5})\in E[x].}