Radicación
La radicación se puede considerar operación inversa a la potenciación sólo cuando el índice (o exponente) es impar, por ejemplo:
Pero cuando el índice es par, no se pueden considerar operaciones inversas, ya que por ejemplo:
El símbolo para las raíces cuadradas (n=2), frecuentemente se escribe sin superíndice:
Para el caso n=1 este es siempre equivalente al radicando:
Si el número a es negativo entonces sólo existirá una raíz real cuando el índice n sea impar.
Tomando la definición general de raíz para reales positivos a y para naturales n se tiene que: La raíz de cierto orden n de un número es equivalente a elevar dicho número a la potencia inversa
Aunque el problema mencionado antes de hallar las raíces de números positivos tiene realmente dos soluciones con distinto signo cuando el índice n es par, el símbolo
aplicado al radicando, puede verse desde un punto de vista analítico, como una función univaluada y por tanto tiene que devolver un único valor que en principio, por convención, es para la solución positiva.
Cabe aclarar que también existe un enfoque de funciones multivaluadas en la cual el valor obtenido no es único, de tal manera que
Por ejemplo, de se tiene que -2 es el único número real cuyo cubo da -8.
Con respecto a las raíces impares de números negativos, se sigue la pauta de no representar el signo negativo dentro del radicando, pudiendo ser considerado indefinido o no permitido.
Tomando este criterio, la solución a la ecuación debe representarse como
Una muestra de ello puede ser, La representación considerada indefinida tampoco funciona con la fórmula dado que el logaritmo de un número negativo no está definido (a no puede ser negativo).
No existe un número real x, tal que
Por lo descrito antes, las propiedades de la potenciación se cumplen también con la radicación.
>Extenciones : se pueden definir raíces con índices de todo tipo , es decir , índice que involucran a cualquier campo numerico.
Ejemplo: Se llega a igual resultado de la siguiente manera: La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador.
Ejemplo: Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva el radicando.
Ejemplo: si m = 3 y n = 4: Utilizando las propiedades fundamentales, se pueden obtener otras propiedades, como por ejemplo, el cálculo de la raíz de un producto con el mismo radicando y distintos índices, que se obtiene multiplicando los índices de las raíces y conservando el radicando elevado a la suma de los índices.
Una expresión radical no anidada se dice que está en forma simplificada si[2] Por ejemplo, para escribir la expresión radical
Primero, se buscan cuadrados perfectos bajo el signo de la raíz cuadrada y se eliminan: Después, hay una fracción bajo el signo radical, la cual se cambiara como: Finalmente, se elimina el radical del denominador como sigue: Radicales semejantes son aquellos radicales que después de simplificados tienen el mismo índice y el mismo radicando.
Para sumar y restar radicales semejantes se saca factor común el radical semejante de todos los términos.
En el caso en que no sean semejantes, no se pueden sumar ni restar, por ejemplo: Racionalizar una expresión consiste en eliminar los radicales del denominador, transformando la expresión en otra equivalente.
El caso más sencillo es cuando se tiene solo una raíz enésima
Cuando hay un denominador que contiene radicales, siempre es posible encontrar un factor para multiplicar el numerador y el denominador y así simplificar la expresión.
Comienza con un supuesto valor inicial x0 y luego se itera usando la relación de recurrencia hasta que se alcance la precisión deseada.
Dependiendo de la aplicación, puede ser suficiente con usar únicamente la primera aproximación del método de Newton: Por ejemplo, para encontrar la raíz quinta de 34, nótese que 25 = 32 por lo tanto x = 2, n = 5 e y = 2 en la fórmula anterior.
Esto proporciona El error en la aproximación es de solo del 0.03%.
El método de Newton se puede modificar para producir una fracción continua generalizada para la raíz enésima que puede ser representada de diversas maneras, entre las que están: La raíz enésima puede representarse mediante la serie infinita: siendo con el valor inicial
y su expresión se deriva de la serie binomial.
