En Matemática, la racionalización de radicales es un proceso en el cual se transforma una expresión, la cual es una fracción con raíz en el denominador, a otra equivalente sin raíz en el denominador.
[1] También se le conoce como racionalizar una fracción con raíces en el denominador, que consiste en operar para eliminar los radicales del denominador de una fracción.
[2] Para ello se multiplica el numerador y el denominador por otra expresión de forma que al operar, se elimine la raíz del denominador.
Cabe resaltar que la expresión a racionalizar puede tener la raíz con índice mayor que dos (por ejemplo, raíz cúbica), cantidad subradical puede ser un monomio, binomio, etc, y que la expresión obtenida equivalente puede o no presentar raíces en el numerador.
La racionalización se utilizaba para dejar los resultados más simplificados.
[1] Actualmente, tanto con las calculadoras como con los ordenadores, los cálculos se hacen con toda la precisión que se quiera en milésimas de segundo.
[1] Para racionalizar un monomio de este tipo, se debe multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por la raíz del denominador cuyo radicando se eleva a la diferencia entre el índice y el exponente.
En el siguiente caso: hay que multiplicar numerador y denominador por
: Después se despeja la raíz cuadrada del denominador ya que la cantidad subradical que es 5 elevada al cuadrado puede eliminar o despejar la raíz cuadrada: También se debe tener en cuenta todas las propiedades para poder resolver los problemas de forma más fácil.
Al racionalizar, se debería multiplicar por y aquí existe el riesgo de "sobresimplificar", olvidando que en general
, para llegar a: que es incorrecto, pues es en realidad la forma correcta.
: donde hemos hecho uso de la unidad imaginaria i.
Para racionalizar un binomio, se debe hacer un proceso similar al ejercicio anterior, multiplicar el numerador y denominador de la fracción por la expresión conjugada del denominador de la misma.
En el siguiente ejemplo: hay que multiplicar el numerador y el denominador por
; este resultado es el que da el producto notable de los binomios conjugados.
El caso general de un binomio con dos raíces cuadradas también es fácilmente resoluble:
Tómese el siguiente caso, ya que tenemos numeradores y denominadores fraccionados y multiplicados por índices mayores o iguales a 3.
Primero, todas las cantidades subradicales (si son números enteros elevados que no tienen exponente) se les debe obtener la raíz enésima.
Ahora, la cantidad que deberá ser multiplicada al numerador y denominador de la fracción sigue un procedimiento diferente a las anteriores.
Las cantidades exponenciales de los subradicales del radical para multiplicar al numerador y denominador de la fracción será el número del exponente que falta para acercarse al índice del radical.
, ya que éste es el radical que al ser multiplicado por el denominador los exponentes de las cantidades subradicales serán iguales al índice de la raíz...
Ahora, se procede a multiplicar el numerador y el denominador: Despejando las raíces, que son de índice 5: Simplificando, se obtiene: Cuando se tiene la diferencia de dos radicales de índice 3, es preciso utilizar productos notables.
Se multiplica el numerador y el denominador de la fracción por el segundo factor.
Lo cambiamos por su expresión simple y ya está.
Se multiplica el numerador y el denominador de la fracción por el segundo factor.
Lo cambiamos por su expresión simple y ya está.
Para un binomio general de índice n se tiene:
Debe recurrirse al álgebra de polinomios.
se trata de buscar un polinomio Q tal que:
Es decir un polinomio tal que exista un polinomio D tal que el producto de P por Q sólo contenga potencias que sean múltiplo de q: