Raíz cúbica

[1]​[2]​ La operación de calcular la raíz cúbica se puede efectuar, sin restricciones, en el campo ordenado de los números reales, ciertamente, con aproximaciones decimales prefijadas en la mayoría de los casos.

Es asociativa con la potenciación y distributiva respecto la multiplicación y división de números reales, pero no es asociativa ni distributiva con la adición o la resta.

La raíz cúbica mantiene el signo del radicando.

Esta cuestión no se resolvió con la aritmética de los números racionales, tampoco con la construcción geométrica a través de regla y compás.

[3]​ Para facilitar el cálculo de la raíz cúbica, se hacía uso de logaritmos y sus propiedades sobre las raíces usando tablas y también mediante la regla de cálculo; En la actualidad, se trabaja con las calculadoras.

[4]​ Las raíces cúbicas de un número x son números y que satisfacen la ecuación Si x e y son reales, entonces existe una única solución tal que la ecuación tiene además una única solución, y ésta corresponde a un número real.

Si x e y son ambos complejos, entonces se puede decir que posee tres soluciones (si x es no nulo) y así x tiene tres raíces cúbicas: una raíz real y dos complejas, en la forma de par conjugado.

Este hecho deja interesantes resultados dentro de las matemáticas.

Si un número es raíz cúbica de un número real las raíces cúbicas pueden ser calculadas multiplicando el número por las raíces de la raíz cúbica de uno.

[5]​ En el cuerpo de los números complejos, la raíz cúbica responde a la solución de la ecuación donde a es cualquier número complejo no nulo.

El conjunto solución involucra tres valores distintos; si z es un complejo real uno de los valores es número real; los otros dos son complejos, sin ninguna parte nula.

[6]​ Para los números complejos, el valor principal de las raíces cúbicas se define como: Donde Log(z) es la rama principal del logaritmo complejo.

Si se escribe z como Donde r es un número real positivo y

cae en el rango: entonces la raíz cúbica es Esto significa que en coordenadas polares al tomar la raíz cúbica de un número complejo se está tomando la raíz cúbica del radio y el ángulo polar se está dividiendo en tres partes de tal forma que define las tres raíces.

Al igual que sucede con la raíz cuadrada de números cuaterniónicos, sucede que un número cuaterniónico puede admitir infinitas raíces cúbicas.

Esto contrasta con el caso de los reales y complejos, donde por ejemplo -1 tiene un número finito de raíces cúbicas (una en los reales y tres en los complejos).

Para ver esto, sea q = a + bi + cj + dk un cuaternión, y supóngase que su cubo es −1: En términos de a, b, c y d esa asunción implica que Una posible solución es

Subtsituyendo esto en la primera, vemos que esta también se satisface si

: Por tanto, queda demostrado que la ecuación

El método de Newton es un método iterativo que puede ser usado para calcular la raíz cúbica.

Para números reales representados mediante coma flotante, este método se reduce al siguiente método iterativo para producir sucesivas mejores aproximaciones de la raíz cúbica de a: Si se toma

la sucesión anterior es monótona decreciente y su límite es precisamente la raíz cúbica.

; se obtiene: valor que ya está muy cercano a