Logaritmo complejo

Entonces, un logaritmo de z es un número complejo w tal que ew = z.[1]​ La notación para tal w es log z. Pero debido a que todo número complejo z distinto de cero tiene infinitos logaritmos distintos,[1]​ hay que tener cuidado para darle a esta notación un significado no ambiguo.

Si z = reiθ con r > 0 (forma polar), entonces w = ln r + iθ es un logaritmo de z; sumándole múltiplos enteros de 2πi se obtienen todos los demás.

Las ramificaciones tienen la ventaja de que pueden ser evaluadas en números complejos.

Hay otras posibles maneras de definir el valor principal.

Dado z, la forma polar no es única debido a la posibilidad de sumar un múltiplo entero de 2π a θ, pero puede hacerse única bajo el requisito de que θ caiga en el intervalo (−π,π]; este θ se denomina valor principal del argumento, y normalmente se escribe como Arg z. Entonces, el valor principal del logaritmo[1]​ puede escribirse como Por ejemplo, Log(-3i) = ln 3 − πi/2.

Otra manera de definir a Log z es como el inverso de la función exponencial compleja definida sobre una región restringida del plano complejo, como en la sección previa.

Cuando la notación log z aparece sin haberse especificado ninguna rama particular del logaritmo, lo mejor es asumir que tenemos la definición del valor principal.

Entonces, para que L(z) fuera continua, L(eiθ) debería ser igual a iθ cuando θ incrementa su valor (la diferencia es una función continua de θ que toma valores en el conjunto discreto

obtenido al eliminar el cero y todos los números reales negativos del plano complejo.

(En realidad, esto es sólo una restricción de Log z, como puede ser demostrado diferenciando la serie y comparando los valores en 1.)

Para comprobar esto, U es normalmente elegido como el complemento de un rayo o curva en el plano complejo que va desde 0 (inclusive) hacia el infinito en una dirección dada.

En este caso, la curva se conoce como corte de ramificación.

Si la función L(z) se extiende para que esté definida sobre un punto del corte de ramificación, esta función será necesariamente discontinua sobre dicho punto; En el mejor de los casos será continua "por un lado", como de hecho le ocurre a Log z sobre los números negativos reales.

Como la función exponencial es holomorfa (es decir, diferenciable en el plano complejo) con derivada no nula, el análogo complejo del teorema de la función inversa es aplicable.

Afortunadamente, como el integrando es holomorfo, el valor de la integral es invariante al deformar el camino (siempre que los extremos del camino de integración se mantengan fijos), y en una región simplemente conectada U (región "sin agujeros") cualquier camino desde a a z dentro de U puede ser continuamente deformada dentro de U en otra.

Todo este razonamiento lleva a la siguiente definición: Cualquier mapa holomorfo

Como una ramificación de log z es holomorfa, y como su derivada 1/z no es nunca 0, esta función define un transformación conforme.

Por ejemplo, la ramificación principal w = Log z, vista como un mapeo de

Las distintas ramificaciones de log z no pueden pegarse para dar una función

porque dos ramas pueden dar distintos valores en puntos en los que las dos están definidas.

Compárese por ejemplo la rama del valor principal Log(z) en

con parte imaginaria θ en (−π,π) y la ramificación L(z) en

Así que tiene sentido pegar los dominios de dichas ramificaciones sólo sobre el semiplano superior.

El dominio resultante tras el pegado es conectado, pero tiene dos copias del semiplano inferior.

El resultado final es una superficie conectada que puede ser vista como la rampa de ascenso de un aparcamiento (siguiendo con la analogía anterior) con infinitos niveles hacia arriba y hacia abajo.

Esta es la superficie de Riemann R asociada a log z. Un punto en R puede verse como un par (z,θ) donde θ es un posible valor del argumento de z. De esta manera, R puede ser encajado en

[6]​ Esto mapea cada punto (z,θ) en R a ln |z| + iθ.

Si U′ es una subconjunto abierto de R proyentado biyectivamente a su imagen U en

De la misma manera que para números reales, se puede definir logab = (log b)/(log a) para números complejos a y b, con la única salvedad de que sus valores dependen de la elección de la ramificación del logaritmo definido en a y b (con log a ≠ 0).

Por ejemplo, usando valores principales, se obtiene Si f es una función holomorfa sobre un subconjunto abierto U de