En geometría euclídea, una línea recta divide un plano en dos semiplanos.denominados: Estas expresiones hacen referencia a semiplanos abiertos.[2] Los matemáticos a veces identifican el plano cartesiano con el plano complejo, de forma que el semiplano superior corresponde al conjunto de números complejos con la parte imaginaria positiva: El término surge de una visualización común del número complejo x + iy como el punto (x, y) en el plano dotado de coordenadas cartesianas.Cuando el eje y está orientado verticalmente, el "semiplano superior" corresponde a la región situada por encima del eje x y, es decir, a los números complejos para los que y > 0.[3] El semiplano inferior, definido por y < 0, es igualmente útil, pero menos utilizado por convención.(el conjunto de todos los números complejos de valor absoluto menor que uno) es equivalente por transformación conforme aTambién juega un papel importante en geometría hiperbólica, donde el modelo del semiplano de Poincaré proporciona una forma de examinar el movimiento hiperbólico.[5] El semiplano superior cerrado es la unión del semiplano superior y del eje real.Las transformaciones afines del semiplano superior incluyen[6] Proposición: Sean A y B semicírculos en el semiplano superior con centros en el límite.La distancia entre dos puntos cualesquiera p y q en el semiplano superior se puede definir consistentemente de la siguiente manera: el bisector perpendicular del segmento de p a q se cruza con el límite o es paralelo a él.En el último caso, p y q se encuentran en un rayo perpendicular al límite y se puede utilizar un número positivo para definir una distancia que es invariante sometida a escalado.En el primer caso, p y q se encuentran en un círculo centrado en la intersección de su bisectriz perpendicular y el límite.Según la proposición anterior, este círculo se puede mover mediante un movimiento afín aEn consecuencia, el semiplano superior se convierte en un espacio métrico.[7] El nombre genérico de este espacio métrico es geometría hiperbólica.Una generalización natural en geometría diferencial es el n-espacio hiperbólicoel conjunto simplemente conexo de dimensión máxima simétrica, n, la variedad de Riemann con constante curvatura seccional −1.[8] Con esta terminología, el semiplano superior esde n copias del semiplano superior.
