Bisección

En geometría, el término bisección hace referencia a la división de un elemento en dos partes iguales o congruentes, generalmente mediante una línea recta, denominada bisector.

El segmento se biseca dibujando circunferencias de intersección de igual radio, cuyos centros son respectivamente los puntos extremos del segmento, y de tal manera que cada uno pasa por un punto extremo contrario.

De hecho, esta construcción se usa cuando se construye una línea perpendicular a una línea dada en un punto dado: dibujando una circunferencia arbitraria cuyo centro es ese punto, interseca la línea en dos puntos más, y la perpendicular a construir es la que biseca el segmento definido por estos dos puntos.

Algebraicamente, la mediatriz de un segmento recto con los puntos extremos

[1]​ Para dividir un ángulo con regla y compás, se dibuja una circunferencia cuyo centro es el vértice, que se corta con el ángulo en dos puntos: uno en cada uno de sus lados.

Usando cada uno de estos puntos como centro, se dibujan otras dos circunferencias del mismo tamaño.

La intersección de los círculos (dos puntos) determina una línea que es la bisectriz del ángulo.

Es interesante observar que la trisección del ángulo (dividiéndolo en tres partes iguales) no se puede lograr solo con regla y compás (hecho probado por primera vez por Pierre Wantzel).

Las bisectrices internas y externas de un ángulo son perpendiculares entre sí.

Si el ángulo está formado por las dos líneas dadas algebraicamente como

, entonces la longitud de la bisectriz interna del ángulo A es[3]​: p. 70 o en términos trigonométricos,[4]​ Si la bisectriz interna del ángulo A en el triángulo ABC tiene una longitud

[6]​[7]​ Existen triángulos enteros con bisectrices de coeficientes racionales.

La tangente a cualquier punto de una parábola, biseca el ángulo formado entre la línea que une dicho punto al foco de la parábola, y la línea perpendicular a la directriz desde el punto citado.

Cada una de las tres medianas de un triángulo es un segmento de línea que atraviesa un vértice y el punto medio del lado opuesto, por lo que divide ese lado en dos partes iguales (aunque en general, no perpendicularmente).

Las tres medianas se cruzan entre sí en el baricentro del triángulo, que es su centro de masas si tiene densidad uniforme; así, cualquier línea a través del centroide de un triángulo y uno de sus vértices divide el lado opuesto en dos partes iguales.

Por lo tanto, cualquier línea a través del circuncentro de un triángulo y perpendicular a un lado biseca ese lado.

En un triángulo acutángulo, el circuncentro divide las mediatrices interiores de los dos lados más cortos en proporciones iguales.

En un triángulo obtusángulo, las dos mediatrices de los dos lados más cortos (extendidas más allá de sus lados opuestos del triángulo al circuncentro) están divididas por sus respectivos lados del triángulo que se cruzan en proporciones iguales.

[9]​: Corolarios 5 y 6 Para cualquier triángulo, las longitudes interiores de las mediatrices vienen dadas por donde los lados son

Si el cuadrilátero es cíclico (inscrito en un círculo), estas malturas son concurrentes (todas se encuentran) en un punto común llamado "anticentro".

Tres de ellas son las medianas del triángulo (que conectan los puntos medios de los lados con los vértices opuestos), que son concurrentes en el centroide del triángulo; de hecho, son los únicos bisectores del área que pasan por el baricentro.

Otros tres bisectores del área de un triángulo son rectas paralelas a sus lados; cada una de ellas interseca a los otros dos lados para dividirlos en segmentos con las proporciones

[11]​ Estas seis líneas son concurrentes de tres en tres: además de las tres medianas que son concurrentes, cualquier mediana es concurrente con dos de las líneas bisectoras del área paralelas a los lados del triángulo.

La envolvente de la infinitud de las rectas bisectoras del área es una deltoide (en general, definida como una figura con tres vértices conectados por curvas que son cóncavas hacia el exterior del deltoide, lo que hace que los puntos interiores sean un conjunto no convexo).

[11]​ La relación del área de la envolvente de los bisectores del área con respecto al área del triángulo es invariante para todos los triángulos, pues se trata de un problema afín, e igual a

Las tres divisorias coinciden en el punto de Nagel del triángulo.

Hay una, dos o tres de estas líneas para cualquier triángulo dado.

Una línea que pasa a través del incentro divide en dos el área o el perímetro, si y solo si también divide al otro.

[13]​ Cualquier línea que cruce el punto medio de un paralelogramo divide en dos su área[14]​ y su perímetro.

Todas las rectas bisectoras del área y del perímetro de un círculo u otra elipse pasan por su centro, y cualquier cuerda a través del centro biseca el área y el perímetro.