Triángulos agudos y obtusos

En el caso de un triángulo agudo, estos tres segmentos se encuentran completamente en el interior del triángulo, por lo que se cruzan en el interior.Pero para un triángulo obtuso, las alturas desde los dos ángulos agudos se cruzan solo con las extensiones de los lados opuestos.El triángulo rectángulo es el caso intermedio: tanto su circuncentro como su ortocentro se encuentran en su límite.Sin embargo, un triángulo obtuso tiene solo un cuadrado inscrito, uno de cuyos lados coincide con parte del lado más largo del triángulo.[2]​: p.115 Todos los triángulos en los que la recta de Euler es paralela a un lado, son agudos.Para todos los triángulos agudos,[4]​: p.40, #1210 Para todos los triángulos agudos con circunferencia inscrita de radio r y circunferencia circunscrita de radio R,[4]​: p.53, #1424 Para un triángulo agudo con área K,[4]​: p.103, #2662 En un triángulo agudo, la suma del circuradio R y el inradio r es menos de la mitad de la suma de los lados más cortos a y b:[4]​: p.105, #2690 mientras que la desigualdad inversa se cumple para un triángulo obtuso.Para un triángulo agudo con medianas ma, mb, y mc y circunradio R, se tiene que[4]​: p.26, #954 mientras que la desigualdad opuesta es válida para un triángulo obtuso.Para un triángulo agudo, la distancia entre el centro del incírculo I y el ortocentro H satisface[4]​: p.26, #954 donde r es el radio de la circunferencia inscrita, con la desigualdad inversa para un triángulo obtuso.Si uno de los cuadrados inscritos de un triángulo agudo tiene una longitud lateral xa y otro tiene una longitud lateral xb con xa < xb, entonces[2]​: p. 115 Si dos triángulos obtusos tienen lados (a, b, c) y (p, q, r) con c y r siendo los lados más largos respectivos, entonces[4]​: p.29, #1030 El triángulo de Calabi, que es el único triángulo no equilátero para el cual el cuadrado más grande que cabe en el interior se puede colocar en tres maneras diferentes, es obtuso e isósceles con ángulos base de 39.1320261...° y un tercer ángulo de 101.7359477...°.[5]​ El triángulo heptagonal, con sus lados que coinciden respectivamente con un lado, la diagonal más corta y la diagonal más larga de un heptágono regular, es obtuso, con ángulos[6]​ No hay triángulos de lados enteros agudos con área = perímetro, pero sí existen tres triángulos obtusos que satisfacen esta condición, que tienen lados[7]​ (6,25,29), (7,15,20) y (9,10,17).El triángulo de Herón oblicuo con el perímetro más pequeño es agudo, con lados (6, 5, 5).