Triángulo entero
Los triángulos enteros poseen varias propiedades generales, explicadas en la primera sección que figura a continuación.
Todas las demás secciones se refieren a clases de triángulos enteros con propiedades específicas.
Tres enteros positivos cualesquiera pueden servir como longitudes laterales de un triángulo entero, siempre que satisfagan la desigualdad del triángulo: el lado más largo es más corto que la suma de los otros dos lados.
La secuencia del número de triángulos enteros con el perímetro p, comenzando en p = 1, es: Es posible determinar el número de triángulos enteros (sin contar congruencias) con el lado más grande dado c y el triplete de números enteros (a, b, c) tal que a + b > c y a ≤ b ≤ c. Este número de triángulos enteros se calcula como Techo [(c + 1)⁄2] * Suelo [(c + 1)⁄2].
Esto también significa que el número de triángulos enteros con el lado más grande c excede el número de triángulos enteros con el lado más grande c−2 por c. La secuencia del número de triángulos enteros no congruentes con el lado más grande c, que comienza en c = 1, es: El número de triángulos enteros (sin congruencia) con el lado más grande dado c y la tripleta de números enteros (a, b, c) que se encuentran en o dentro de un semicírculo de diámetro c es el número de triples enteros tal que a + b > c , a2 + b2 ≤ c2 y a ≤ b ≤ c. Este es también el número de triángulos enteros obtusos o rectángulos (no agudos) con el lado más grande c. La secuencia que comienza en c = 1, es: En consecuencia, la diferencia entre las dos secuencias anteriores da la cantidad de triángulos enteros agudos (sin congruencia) con el lado más grande dado c. La secuencia que comienza en c = 1, es: Por la fórmula de Herón, si T es el área de un triángulo cuyos lados tienen longitudes a, b y c, entonces Dado que todos los términos bajo la raíz en el lado derecho de la fórmula son enteros, se deduce que el área T de cualquier triángulo entero cumple que 16T2 es también un número entero, y que T2 es un número racional.
[6] Para triángulos enteros, los ángulos restantes también deben tener cosenos racionales y a continuación se proporciona un método para generar dichos triángulos.
, donde s es el semiperímetro (y lo mismo para las bisectrices de los otros dos ángulos).
Cualquier altura trazada desde un vértice sobre su lado opuesto o la extensión de este, dividirá ese lado o su extensión en longitudes que serán números racionales.
, dando (2ma)2 = 2b2 + 2c2 − a2 (y lo mismo para las medianas de los otros lados).
La relación entre el inradio y el circunradio de un triángulo entero es racional, lo que equivale a
Cada triángulo heroniano tiene lados proporcionales a[8] para los enteros m, n y k sujetos a las restricciones: El factor de proporcionalidad generalmente es un número racional
primitiva (es decir, que los lados no tienen factor común con ella), puede ser generado por donde m y n son enteros números primos entre sí y uno de ellos es par con m > n. Cada número par mayor que 2 puede ser la pata de un triángulo pitagórico (no necesariamente primitivo) porque si la pata está dada por
No hay triángulos pitagóricos primitivos con una altura entera a partir de la hipotenusa.
Esto es porque dos veces el área es igual a cualquier base multiplicada por la altura correspondiente: 2 veces el área equivale tanto a ab como a cd, donde d es la altura de la hipotenusa c. Las tres longitudes de los lados de un triángulo primitivo son coprimas, por lo que d = ab⁄c está en forma completamente reducida; como c no puede ser igual a 1 para cualquier triángulo pitagórico primitivo, d no puede ser un número entero.
Sin embargo, cualquier triángulo pitagórico con patas x e y; e hipotenusa z, puede generar un triángulo pitagórico con una altura entera, escalando los lados por la longitud de la hipotenusa z. Si d es la altura, entonces el triángulo pitagórico generado con la altura entera viene dado por[11] En consecuencia, todos los triángulos pitagóricos con las patas a y b, hipotenusa c, y la altura entera de la hipotenusa d, con gcd (a, b, c, d) = 1, que necesariamente tienen ambos a2 + b2 = c2 y
para los números enteros coprimos m, n con m > n. Un triángulo con lados enteros y área entera tiene lados en progresión aritmética si y solo si[13] los lados son (b - d, b, b + d ), donde y donde g es el máximo común divisor de
Ningún triángulo heroniano con B = 2A es isósceles o un triángulo rectángulo, porque todas las combinaciones resultantes generan ángulos con senos no racionales, dando un área o un lado no racional.
En consecuencia, todos los triángulos heronianos primitivos cuyo perímetro es cuatro veces un primo pueden ser generado por para los enteros
[19]: p.107 Un triángulo automediano es aquel cuyas medianas están en las mismas proporciones (en el orden opuesto) que los lados.
Por ejemplo, el triángulo rectángulo con lados 5, 12 y 13 puede usarse de esta manera para formar el triángulo automediano entero más pequeño, con longitudes de lados 13, 17 y 7.
Hay infinitos triángulos heronianos (no pitagóricos) primitivos que se pueden colocar sobre una retícula entera, incluidos todos sus vértices, el incentro y los tres excentros.
[25] Algunos triángulos enteros con un ángulo en el vértice A dado el coseno racional h/k (h < 0 o > 0; k > 0) están definidos por[26] donde p y q son los enteros positivos coprimos tales que p > qk.
A partir de aquí, todas las soluciones primitivas pueden ser obtenidas dividiendo a, b y c por su máximo común divisor (por ejemplo, una solución al triángulo equilátero se obtiene tomando m = 2 y n = 1, pero esto produce a = b = c = 3, que no es una solución primitiva).
Desafortunadamente, los dos pares pueden ser ambos de mcd = 3, por lo que no se pueden evitar los duplicados simplemente omitiendo ese caso.
Téngase en cuenta que todavía se necesita dividir por 3 si el mcd = 3.
adicional, todas las tripletas se pueden generar de forma única.
Para enteros primos relativos positivos h y k, el triángulo con los siguientes lados tiene ángulos
Nótese que todos los triángulos con B = 2A (siendo entero o no) tienen[33]
Téngase en cuenta que todos los triángulos con B = 3A (ya sea con lados enteros o no) satisfacen
Las condiciones se conocen en términos de curva elíptica para que un triángulo entero tenga una relación entera N del cociente entre el circunradio y el inradio.
