Incentro

El Incentro de un triángulo (marcado con la letra I en el gráfico) es el punto en el que se cortan las tres bisectrices de sus ángulos internos.

Equidista de los tres lados, y por lo tanto, es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo, tangente a sus tres lados.

Junto con el centroide (o baricentro) , circuncentro y ortocentro, es uno de los cuatro puntos notables del triángulo conocidos por los antiguos griegos, y el único que no se sitúa sobre la recta de Euler.

Se pueden deducir las coordenadas cartesianas del incentro a partir de las coordenadas de los tres vértices del triángulo A, B y C. Si los vértices tienen por coordenadas

Las coordenadas trilineales del incentro son La colección de centros del triángulo presenta estructura de grupo cuando se expresan sus coordenadas en el sistema trilineal respecto a la operación producto.

son los ángulos de los tres vértices del triángulo.

Denominando al incentro del triángulo ABC como I, las distancias desde el incentro a los vértices, de acuerdo con las longitudes de los lados, obedecen a la ecuación[4]​ Adicionalmente,[5]​ donde R y r son los radios de las circunferencias circunscrita e inscrita respectivamente.

Conociendo el ángulo A y el radio r 2.

Se reemplaza r y csc A/2 en la fórmula anterior (1).

[7]​ La distancia entre el incentro y el centroide es menor que una tercera parte de la longitud de la mediana más larga del triángulo.

[8]​ De acuerdo con el Teorema geométrico de Euler, la distancia entre el incentro I y el circuncentro O elevada al cuadrado, viene dada por[9]​[10]​ donde R y r son el circunradio y el inradio respectivamente; en consecuencia, el circunradio es al menos dos veces el inradio (siendo exactamente el doble únicamente en el caso del triángulo equilátero[11]​: p. 198 ).

La distancia desde el incentro al centro N de la circunferencia de los nueve puntos es[10]​ La distancia al cuadrado entre el incentro y el ortocentro H es[12]​ Existen inecuaciones que afirman que: El incentro es el punto de Nagel del triángulo medial (el triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados) y se halla situado en el interior de este triángulo.

[13]​ El incentro se localiza en el interior de un disco cuyo diámetro une el centroide G y el ortocentro H (el disco ortocentroidal), pero no puede coincidir con el centro de los nueve puntos, cuya posición es fija a 1/4 a lo largo del diámetro (más cercano a G).

El incentro generalmente no pertenece a la recta de Euler;[15]​ salvo para los triángulos isósceles,[16]​ en cuyo caso la recta de Euler coincide con el eje de simetría del triángulo y contiene todos sus centros.

Denominando a la distancia desde el incentro a la recta de Euler d; a la longitud de la mayor mediana v; a la longitud del mayor lado del triángulo u; al circunradio R; a la longitud del segmento de la recta de Euler desde el ortocentro hasta el circuncentro e; y al semiperímetro s; se tienen las inecuaciones siguientes:[17]​ Cualquier recta que divida un triángulo en dos partes de igual área e igual perímetro (ambas condiciones se dan simultáneamente), pasa por su incentro.

Puede haber una, dos o tres de estas líneas para cualquier triángulo dado.

[18]​ Sea X un punto de la bisectriz del ángulo A.

Entonces, cuando X = I (el incentro) se maximiza o minimiza el cociente