Coordenadas trilineales

En geometría, las coordenadas trilineales x:y:z de un punto respecto a un triángulo se especifican mediante sus distancias a las rectas que contienen los segmentos que forman los lados del triángulo.

A menudo son designadas simplemente como "trilineales".

En el diagrama a la derecha, las coordenadas trilineales del punto interior indicado son las distancias reales ( a' , b' , c' ), o las equivalentes en forma de cociente, ka' : kb' : kc' para cualquier constante positiva k. Si un punto está en un lateral del triángulo de referencia, su correspondiente coordenada trilineal es 0.

Si un punto exterior está en el lado opuesto de una línea lateral respecto al interior del triángulo, su coordenada trilineal asociada con ese margen es negativa.

Es imposible que las tres coordenadas trilineales sean negativas simultáneamente.

Aquí, cada uno de los valores x, y, y z no tiene ningún significado por sí mismo; pero su relación con cada uno de los otros sí tiene significado.

Por lo tanto, debe evitarse la "notación con comas" para las coordenadas trilineales, porque la notación (x, y, z), referida a una terna ordenada de datos, no permite por ejemplo hacer que (x, y, z) = (2x, 2y, 2z), mientras que la "notación de puntos" sí permite expresiones como x: y: z = 2x: 2y: 2z.

Dadas las longitudes de los lados a, b, c, se tiene que: Debe tenerse en cuenta que en general, en un triángulo cualquiera el incentro no coincide con el centroide; cuyas coordenadas baricéntricas son 1: 1: 1 (lo que significa que son iguales las áreas de los triángulos BGC, CGA y AGB, donde G = centroide).

Por ejemplo, el punto medio del lado BC, tiene coordenadas trilineales con respecto a las longitudes reales de los lados (a, b y c)

[1]​: p. 96 Las coordenadas trilineales permiten utilizar muchos métodos algebraicos sobre la geometría del triángulo.

Por lo tanto, si x: y: z es un punto variable, la ecuación de una línea a través de los puntos P y U es D = 0,[1]​: p. 23  de lo que se deduce que cada recta tiene una ecuación lineal homogénea en x, y, z. Cada ecuación de la forma lx + mi + nz = 0 en coeficientes reales es una recta real de puntos finitos a menos que l: m: n sea proporcional a a: b: c, las longitudes laterales, en cuyo caso se tiene un lugar geométrico de puntos en el infinito.[1]​: p.

40 El enunciado dual del anterior es que las líneas concurren en un punto (α, β, γ) si y solo si D = 0[1]​: p. 28 También, si se utilizan distancias reales cuando se evalúa el determinante D, entonces (Área de (PUX)) = KD, donde K = abc/8∆2 si el triángulo PUX tiene la misma orientación (hacia la derecha o hacia la izquierda) que el triángulo ABC, y K = –abc/8∆ 2 en caso contrario.

Esto puede verse en la figura de la parte superior de este artículo: con el punto P interior al triángulo ABC, se forman tres triángulos ( PBC, ACP y PAB) con las áreas respectivas (1/2)aa' ; (1/2) bb' ; y 1/2 cc' .

La distancia d entre dos puntos con distancias reales trilineales a'i: b'i: c'i viene dada por[1]​: p. 46 La distancia d desde un punto a'0: b'0: c'0, en coordenadas trilineales de distancias reales, a una línea recta lx + mi + nz = 0 es[1]​: p. 48 La ecuación de una cónica según las coordenadas trilineales x: y: z es[1]​: p.118 Carece de términos lineales y de términos constantes.

La ecuación trilineal de la circuncónica con centro x': y': z' es[1]​: p. 203 Cada sección cónica inscrita en un triángulo tiene una ecuación en coordenadas trilineales de la forma[1]​: p. 208 con exactamente uno o los tres signos no especificados negativos.

La ecuación de la circunferencia inscrita puede ser simplificada a[1]​: p. 210, p.214 mientras que la ecuación para, por ejemplo, la circunferencia exinscrita adyacente al segmento del lado opuesto al vértice A se puede escribir como[1]​: p. 215 Muchas curvas cúbicas se representan fácilmente usando trilineales.

Por ejemplo, el auto-isoconjugado cúbico Z(U,P), definido como el lugar geométrico de un punto X que es el isoconjugado P de X respecto a la línea UX viene dado por la ecuación determinante Entre las cúbicas del tipo Z(U,P) se incluyen las siguientes: Dada una coordenada trilineal x: y: z, para localizar el punto, las distancias reales del punto a los lados se calculan por a' = kx, b' = ky, c' = kz, donde k puede determinarse por la fórmula

en el que a, b, c son las longitudes respectivas de los lados BC, CA, AB; y ∆ es el área del triángulo ABC.

Un punto de coordenadas trilineales x: y: z tiene coordenadas baricéntricas ax: by: cz; donde a, b, c son las longitudes de los lados del triángulo.

Dado un triángulo de vértices ABC, la posición del vértice B se puede expresar en términos de un par ordenado de coordenadas cartesianas, que se representa algebraicamente como un vector B, con el vértice C como origen.