Circuncónica e incónica

En la geometría del triángulo, una circuncónica es una curva cónica que pasa por los tres vértices de un triángulo dado,[1]​ y una incónica es una curva cónica inscrita en los lados (incluso extendidos) de un triángulo.

[2]​ Supóngase que A, B, C son distintos puntos no colineales, y que ΔABC designa el triángulo cuyos vértices son A, B, C. Siguiendo la práctica común, A denota no solo el vértice, sino también el ángulo BAC en el vértice A, y de manera similar para B y C como ángulos en ΔABC.

En coordenadas trilineales, una circuncónica general es el lugar geométrico de los puntos X = x : y : z que satisfacen la ecuación para algún punto u : v : w. El conjugado isogonal de cada punto X de la circuncónica, que no sea A, B, C, es un punto de la línea Esta línea coincide con la circunferencia circunscrita de ΔABC en 0, 1 o 2 puntos, según la circuncónica sea una elipse, una parábola o una hipérbola.

Una incónica general es tangente a las tres líneas rectas laterales de ΔABC y está dada por la ecuación El centro de una circuncónica general es el punto Las líneas tangentes a una circuncónica general en los vértices A, B, C son, respectivamente, El centro de una incónica general es el punto Las líneas tangentes a una incónica general son las líneas rectas laterales de ΔABC, dadas por las ecuaciones x = 0, y = 0, z = 0.

Todos los centros de inelipses de un cuadrilátero dado caen en el segmento de línea recta que conecta los puntos medios de las diagonales del cuadrilátero.