Circunferencia inscrita y exinscrita en un triángulo

En geometría, la circunferencia inscrita o círculo inscrito de un triángulo es el círculo más grande contenido en el triángulo; toca (es tangente a) los tres lados.El centro de la circunferencia inscrita se llama incentro[1]​ del triángulo.Una circunferencia exinscrita o círculo exinscrito[2]​ del triángulo es un círculo exterior al triángulo, tangente a uno de sus lados y tangente a la extensión de los otros dos lados.El centro de esa circunferencia se llama excentro relativo al vértice A, o excentro de A.[3]​ Debido a que la bisectriz interior de un ángulo es perpendicular a la bisectriz del ángulo exterior, se deduce que el centro de la circunferencia inscrita junto con los tres excentros forman un Sistema ortocéntrico.[5]​ No todos los polígonos[6]​ con más de tres lados tienen circunferencias inscritas tangentes a todos sus lados; estos se llaman polígonos tangenciales.Véanse también las rectas tangentes a la circunferencia.[7]​ Los radios de las circunferencias inscritas y exinscritas están estrechamente relacionados con el área del triángulo.tiene una circunferencia inscrita con radio r y centro I.Ahora, la circunferencia inscrita es tangente a AB en algún punto C′, y asíPor tanto el radio C'I es la altura delDado que estos tres triángulos componen alEste es un triángulo rectángulo con un cateto igual a r y otro cateto igual aLos radios de las circunferencias exinscritas son llamados exradios.La circunferencia exinscrita al lado AB toca al lado AC extendido en G, y el radio de esta circunferencia exisncrita es{\displaystyle \Delta =sr=(s-a)r_{a}=(s-b)r_{b}=(s-c)r_{c}}Por el teorema del coseno, se tiene que:{\displaystyle r_{a}^{2}={\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}}{\displaystyle r_{a}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}}.}[9]​ A partir de estas fórmulas se puede ver que las circunferencias exisncritas son siempre más grandes que las circunferencias inscritas y la circunferencia exinscrita más grande es la que es tangente al lado más largo y la más pequeña es la tangente al lado más corto.La relación del área de la circunferencia inscrita al área del triángulo es menor o igual aEl punto de contacto opuesto al vértice A se denota TA, etc.Así mismo, es el triángulo podal respecto a ABC generado desde su propio incentro.Los tres segmentos ATA, BTB y CTC se intersecan en un solo punto llamado punto de Gergonne, anotado como Ge - X(7).El punto de Gergonne se encuentra en el interior del círculo ortocentroidal, y puede ser cualquiera de sus puntos.[12]​ Curiosamente, el punto de Gergonne del triángulo es el punto simediano del triángulo de Gergonne.[13]​ Las coordenadas trilineales para los vértices donde el triángulo está en contacto vienen dadas por: Las coordenadas trilineales para el punto de Gergonne están dadas por: El triángulo de Nagel de ABC es notado por los vértices XA, XB y XC que son los tres puntos donde cada circunferencia exinscrita toca al triángulo de referencia ABC y donde XA es el opuesto al vértice A, etc.La circunferencia circunscrita del triángulo explícito XAXBXC es llamada círculo de Mandart.Los tres segmentos AXA, BXB y CXC se denominan divisores del triángulo; cada uno de ellos biseca el perímetro del triángulo, y los tres se intersecan en un solo punto, el Punto de Nagel del triánguloNa - X(8).Las coordenadas trilineales de los vértices del triángulo explícito están dadas por: Las coordenadas trilineales del punto de Nagel están dadas por: o, equivalentemente a, según el teorema del seno, Esto es el conjugado isotómico del punto de Gergonne.