Circunferencia inscrita y exinscrita en un triángulo
En geometría, la circunferencia inscrita o círculo inscrito de un triángulo es el círculo más grande contenido en el triángulo; toca (es tangente a) los tres lados.
El centro de la circunferencia inscrita se llama incentro[1] del triángulo.
Una circunferencia exinscrita o círculo exinscrito[2] del triángulo es un círculo exterior al triángulo, tangente a uno de sus lados y tangente a la extensión de los otros dos lados.
El centro de esa circunferencia se llama excentro relativo al vértice A, o excentro de A.
[3] Debido a que la bisectriz interior de un ángulo es perpendicular a la bisectriz del ángulo exterior, se deduce que el centro de la circunferencia inscrita junto con los tres excentros forman un Sistema ortocéntrico.
[5] No todos los polígonos[6] con más de tres lados tienen circunferencias inscritas tangentes a todos sus lados; estos se llaman polígonos tangenciales.
Véanse también las rectas tangentes a la circunferencia.
[7] Los radios de las circunferencias inscritas y exinscritas están estrechamente relacionados con el área del triángulo.
tiene una circunferencia inscrita con radio r y centro I.
Ahora, la circunferencia inscrita es tangente a AB en algún punto C′, y así
Por tanto el radio C'I es la altura del
Dado que estos tres triángulos componen al
Este es un triángulo rectángulo con un cateto igual a r y otro cateto igual a
Los radios de las circunferencias exinscritas son llamados exradios.
La circunferencia exinscrita al lado AB toca al lado AC extendido en G, y el radio de esta circunferencia exisncrita es
{\displaystyle \Delta =sr=(s-a)r_{a}=(s-b)r_{b}=(s-c)r_{c}}
Por el teorema del coseno, se tiene que:
{\displaystyle r_{a}^{2}={\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}}
{\displaystyle r_{a}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}}.}
[9] A partir de estas fórmulas se puede ver que las circunferencias exisncritas son siempre más grandes que las circunferencias inscritas y la circunferencia exinscrita más grande es la que es tangente al lado más largo y la más pequeña es la tangente al lado más corto.
La relación del área de la circunferencia inscrita al área del triángulo es menor o igual a
El punto de contacto opuesto al vértice A se denota TA, etc.
Así mismo, es el triángulo podal respecto a ABC generado desde su propio incentro.
Los tres segmentos ATA, BTB y CTC se intersecan en un solo punto llamado punto de Gergonne, anotado como Ge - X(7).
El punto de Gergonne se encuentra en el interior del círculo ortocentroidal, y puede ser cualquiera de sus puntos.
[12] Curiosamente, el punto de Gergonne del triángulo es el punto simediano del triángulo de Gergonne.
[13] Las coordenadas trilineales para los vértices donde el triángulo está en contacto vienen dadas por: Las coordenadas trilineales para el punto de Gergonne están dadas por: El triángulo de Nagel de ABC es notado por los vértices XA, XB y XC que son los tres puntos donde cada circunferencia exinscrita toca al triángulo de referencia ABC y donde XA es el opuesto al vértice A, etc.
La circunferencia circunscrita del triángulo explícito XAXBXC es llamada círculo de Mandart.
Los tres segmentos AXA, BXB y CXC se denominan divisores del triángulo; cada uno de ellos biseca el perímetro del triángulo, y los tres se intersecan en un solo punto, el Punto de Nagel del triánguloNa - X(8).
Las coordenadas trilineales de los vértices del triángulo explícito están dadas por: Las coordenadas trilineales del punto de Nagel están dadas por: o, equivalentemente a, según el teorema del seno, Esto es el conjugado isotómico del punto de Gergonne.
