Teorema geométrico de Euler

El teorema recibe su nombre en memoria de Leonhard Euler, quien lo publicó en 1767,[5]​ aunque el mismo resultado ya había sido dado a conocer por William Chapple en 1746.

[6]​ Del teorema se deduce la Desigualdad de Euler:[2]​[3]​ que se convierte en una igualdad solo en el caso del triángulo equilátero.[7]​: p.

198 Siendo O el circuncentro de triángulo ABC, e I su incentro, la extensión de AI cruza la circunferencia circunscrita en L. Entonces, L es el punto medio del arco BC.

Se unen LO y se extiende hasta cruzar la circunferencia circunscrita en M. Se construye ahora una perpendicular a AB, desde I, siendo D su pie, así que ID = r. No es difícil de probar que el triángulo ADI es similar al triángulo MBL, así que ID / BL = AI / ML; y por lo tanto ID × ML = AI × BL.

Debido a que se tiene que ∠ BIL = ∠ IBL, y así BL = IL, y AI × IL = 2 Rr.