Triángulo heptagonal

Un triángulo heptagonal es un triángulo escaleno obtuso cuyos vértices coinciden con el primer, segundo y cuarto vértices de un heptágono regular (desde un vértice inicial arbitrario).Por lo tanto, sus tres lados coinciden con un lado y con las diagonales adyacentes más cortas y más largas de un heptágono regular.Todos los triángulos heptagonales son similares (tienen la misma forma), por lo que se conocen colectivamente como el triángulo heptagonal.y es el único triángulo con ángulos en las relaciones 1: 2: 4.El triángulo heptagonal tiene varias propiedades notables.El centro de nueve puntos del triángulo heptagonal es también su primer punto de Brocard.12 El segundo punto de Brocard se encuentra en el círculo de nueve puntos.[2]​ : p. 19 El circuncentro y los puntos de Fermat de un triángulo heptagonal forman un triángulo equilátero.22 La distancia entre el circuncentro O y el ortocentro H viene dada por[2]​ : p. 19 donde R es el circunradio.La distancia al cuadrado desde el incentro I al ortocentro es[2]​ : p. 19 donde r es el inradio.Las dos tangentes desde el ortocentro hasta el circuncírculo son mutuamente perpendiculares.[2]​ : p. 19 Los lados del triángulo heptagonal a < b < c coinciden respectivamente con el lado del heptágono regular, diagonal más corta y diagonal más larga.Satisfacen que[3]​ : Lemma 1 (la última[2]​ : p. 13  es la ecuación óptica) y por lo tanto y[3]​ : Coro.2 Por lo tanto, -b/c, c/a y a/b satisfacen la ecuación cúbica La relación entre los lados es y las raíces de esta ecuación son:También se tiene que[4]​ satisface la ecuación cúbica y las raíces de esta ecuación son: También se tiene que[4]​ satisface la ecuación cúbica y las raíces de esta ecuación son: Así mismo, los valores[4]​ satisfacen la ecuación cúbica y las raíces de esta ecuación son: También se tiene que[2]​ : p. 14 y[2]​ : p. 15 Por otro lado[4]​ No hay otro par de números (m, n), tales que m, n > 0 y que m, n <2000, que cumplan [cita requerida] Las alturas ha, hb y hc satisfacen y La altura desde el lado b (ángulo opuesto B) es la mitad de la bisectriz del ángulo internode A:[2]​ : p. 19 Aquí el ángulo A es el ángulo más pequeño y B es el segundo ángulo más pequeño.Se tienen las siguientes propiedades de las bisectricesde los ángulos A, B y C respectivamente:[2]​ : p. 16 El área del triángulo es[5]​ donde R es el circunradio del triángulo.del inradio respecto al circunradio es la solución positiva de la ecuación cúbica[5]​ siendo las otras dos raíces de esta ecuación{\displaystyle {\frac {r_{a}+r_{b}+r_{c}}{R}}=2\cos \left({\frac {\pi }{7}}\right)+{\frac {5}{2}}}{\displaystyle {\frac {{\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{b}}}+{\frac {1}{r_{c}}}}{R}}=4\cos \left({\frac {2\pi }{7}}\right)}Además,[2]​ : p. 15 También se tiene que[6]​ En general para todos los enteros n, donde y Así mismo[6]​ También se tiene que[4]​ El exradio ra correspondiente al lado a es igual al radio de la circunferencia de los nueve puntos del triángulo heptagonal.[2]​ : p. 15 El triángulo órtico del triángulo heptagonal, con vértices en los pies de las alturas, es similar al triángulo heptagonal, con una relación de similitud de 1: 2.El triángulo heptagonal es el único triángulo obtuso que es similar a su triángulo órtico (el triángulo equilátero es el único agudo con esta propiedad).12–13 Las diversas identidades trigonométricas asociadas con el triángulo heptagonal incluyen:[2]​ : pp.13–14 [5]​ La ecuación cúbica tiene soluciones[2]​ : p. 14que son los senos al cuadrado de los ángulos del triángulo.La solución positiva de la ecuación cúbica es igualque es el doble del coseno de uno de los ángulos del triángulo.[7]​ : p. 186–187 Sen (2π/7), sen (4π/7) y sen (8π/7) son las raíces de[4]​ También se tiene que:[6]​ Para un entero n, sea Para n = 0, ..., 20, Para n = 0, -1,, ..-20, Para cualquier entero n Para n = 0, 1, ... 10, Para un entero n, sea Para n = 0, 1, ... 10, También se tiene que[6]​[8]​ Así mismo[4]​ También se tiene que[4]​ También se tiene que[9]​ También se cumplen identidades de tipo Ramanujan,[10]​ También se tiene que[9]​