En geometría, los puntos de Brocard son puntos especiales dentro de un triángulo.Toman su nombre por Henri Brocard (1845 – 1922), un matemático francés.En un triángulo ABC con lados a, b, y c, donde los vértices se llaman A, B, y C en orden contrario a las manecillas del reloj, hay exactamente un solo punto P tal que los segmentos de línea AP, BP, y CP forman el mismo ángulo ω, con los respectivos lados c, a, y b, es decir queEl punto P se llama el primer punto de Brocard o punto de Brocard positivo del triángulo ABC, y el ángulo ω se llama el ángulo Brocard del triángulo.Este ángulo cumple la propiedadson los ángulos de los vérticesTambién hay un segundo punto de Brocard o punto de Brocard negativo, Q en el triángulo ABC, tal que los segmentos de línea AQ, BQ, y CQ forman ángulos iguales con los lados b, c y a respectivamente.Es notable que este segundo punto de Brocard tiene el mismo ángulo de Brocard que el primer punto de Brocard.Los dos puntos de Brocard están muy relacionados entre sí; de hecho, la diferencia entre el primero y el segundo depende del orden en que los ángulos del triángulo ABC se toman.Entonces, por ejemplo, el primer punto Brocard del triángulo ABC es el mismo que el segundo punto de Brocard del triángulo ACB Los dos puntos Brocard de un triángulo ABC son cada uno conjugados isogonales del otro.En el ejemplo siguiente se presenta el primer punto de Brocard, pero la construcción del segundo punto es muy similar.Como se muestra en el diagrama, se forma un círculo a través de los puntos A y B, tangente a la línea BC del triángulo (el centro de este círculo es el punto donde el bisector perpendicular de AB toca la línea que pasa por el punto B y que es perpendicular a BC).Simétricamente, se forma un círculo a través de los puntos B y C, tangente a la línea AC, y un círculo a través de los puntos A y C, tangente a la línea AB.Estos tres círculos tienen un punto en común, el primer punto de Brocard del triángulo ABC.Véase también Líneas tangentes a círculos Los tres círculos construidos también son epiciclos del triángulo ABC.El segundo punto de Brocard se construye de forma similar.Las coordenadas trilineales homogéneas para el primer y segundo puntos de Brocard sonPor tanto, sus coordenadas baricéntricas son respectivamente[1]Sin embargo, el par no ordenado formado por ambos puntos es invariante bajo similitudes.El punto medio de los dos puntos de Brocard, llamado el punto medio de Brocard tiene las coordenadas trilineales:[2] y es un centro del triángulo.El tercer punto de Brocard, en coordenadas trilineales como[3] es el punto medio de Brocard del triángulo anticomplementario y también es el conjugado isotómico del punto simediano.La distancia entre los primeros dos puntos de Brocard P y Q siempre es menor que o igual a la mitad del radio R del círculo circunscrito:[1][4]El segmento entre los primeros dos puntos de Brocard está perpendicularmente biseccionado en el punto medio de Brocard por la línea que conecta el circuncentro del triángulo y su Punto de Lemoine.Más aún, el circuncentro, el punto de Lemoine y los primeros dos puntos de Brocard son cocíclicos: todos están en el mismo círculo, del que el segmento que conecta al circuncentro y el punto de Lemoine es un diámetro.[1] Los puntos de Brocard P y Q son equidistantes del circuncentro del triángulo O:[4]Los triángulos peda del primer y segundo puntos de Brocard son congruentes entre sí y semejantes al triángulo original.[4] Si las líneas AP, BP, y CP, cada una a través de uno de los vértices del triángulo y su primer punto de Brocard, intersectan el circuncentro del triángulo en los puntos L, M, y N, entonces el triángulo LMN es congruente con el triángulo original ABC.Lo mismo es verdadero si el primer punto de Brocard P es reemplazado por el segundo punto de Brocard Q.
El punto de Brocard de un triángulo, construido en el punto de intersección de tres círculos.
