Método de bisección

En matemáticas, el método de bisección , también llamado dicotomía, es un algoritmo de búsqueda de raíces que trabaja dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raíz.Este es uno de los métodos más sencillos y de fácil intuición para resolver ecuaciones de una variable, también conocido como Método de Intervalo Medio.[1]​ Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI), el cual establece que toda función continuatoma todos los valores que se hallan entreEsto es que todo valor entrees la imagen de al menos un valor en el intervaloEn caso de quetengan signos opuestos, el valor cero sería un valor intermedio entre, por lo que con certeza existe unEl método consiste en lo siguiente: En la siguiente figura se ilustra el procedimiento descrito.El método de bisección es menos eficiente que el método de Newton, pero es mucho más seguro para garantizar la convergencia.es una función continua en el intervalo, entonces este método converge a la raíz deDe hecho, una cota del error absoluto es:La bisección converge linealmente, por lo cual es un poco lento.Sin embargo, se garantiza la convergencia siSi existieran más de una raíz en el intervalo entonces el método sigue siendo convergente pero no resulta tan fácil caracterizar hacia qué raíz converge el método.Para aplicar el método consideremos tres sucesionesdefinidas por las siguientes relaciones:Donde los valores iniciales vienen dados por:Se puede probar que las tres sucesiones convergen al valor de la única raíz del intervalo:Suponiendo que se cumplen las condiciones iniciales para la puesta en práctica del algoritmo, definimos r como una raíz dentro del intervalo [a, b].El intervalo de búsqueda en el n-ésimo paso tiene longitud:, que es la raíz n-ésima calculada, se encuentra siempre dentro del intervalo de búsqueda, tenemos entonces que:Queda demostrado entonces, que si se cumplen las condiciones iniciales del problema, el método de bisección converge al menos, a una de las raíces que se encuentran en el intervalo señalado.El error cometido tras realizariteraciones del método de bisección es[2]​Para lograr un error inferior a, el número de iteracionesa realizar debe ser