Regla y compás

A la regla se le supone longitud infinita, carencia de marcas que permitan medir o trasladar distancias, y un solo borde.

Pese a esa «imposibilidad lógica» insalvable, muchos persisten en el intento de resolver estos famosos problemas.

Son conceptos matemáticos abstractos, como pueda serlo la raíz cuadrada, y no instrumentos físicos.

Los dibujos del mundo real tienen imperfecciones: los puntos son en realidad manchas tridimensionales, los segmentos de recta son en realidad cuasi-paralelepípedos o «franjas» algo irregulares de cierta anchura y altura, etc.

A mediados del siglo XIX se demostró matemáticamente que es imposible hacerlo.

Los tres problemas clásicos no son los únicos cuya solución se ha demostrado imposible.

Los matemáticos clásicos griegos fueron quienes intentaron hacer construcciones con regla y compás por primera vez; descubrieron cómo construir sumas, diferencias, productos, razones y raíces cuadradas de longitudes dadas.

Se puede identificar el espacio creado con dos puntos dados, por tanto, con el conjunto de números complejos.

De modo más general, usando las mismas construcciones, uno puede, dados dos números complejos

Será suficiente ver que dados dos números racionales, podemos construir su suma, diferencia, producto y razón, pues, si sabemos hacer esto, sabemos construir los coeficientes de cada una de las operaciones, y para acabar de construir el número complejo sólo queda trasladar la parte imaginaria al eje

Basta hacer una circunferencia centrada en el primero, con radio el valor absoluto del otro (que se puede obtener poniendo la aguja del compás en el origen y abriendo el mismo hasta llegar al segundo número) y considerar las intersecciones de esta circunferencia con el eje

El producto y la razón son construibles mediante las siguientes figuras, que utilizan el teorema de Tales.

Puede demostrarse algo más: dada una longitud construible es posible construir su conjugado y su raíz cuadrada.

Para la raíz cuadrada, la de un complejo se puede expresar algebraicamente como

En efecto, también la podemos construir mediante el uso de regla y compás como sigue.

Por lo dicho en el párrafo anterior, todo punto construible puede obtenerse por una tal secuencia de extensiones.

(que se corresponde con la multiplicación de los puntos sobre la circunferencia unitaria, considerados como números complejos).

desde el origen y trazamos la perpendicular a ese eje pasando por el extremo del segmento anterior.

Si ahora construimos con el compás una circunferencia de radio unidad centrada en el origen y consideramos el punto donde esta corta la perpendicular anterior, el segmento que une este punto con el origen forma, por definición de coseno, el ángulo deseado con el eje

Podemos decir que el heptadecágono es construible porque, al ser construible el ángulo que forman dos vértices consecutivos respecto del origen, podemos fijar el primer vértice e ir construyendo los siguientes a ese ángulo de los anteriores.

Es fácil demostrar que los elementos así obtenidos son un subconjunto numerable, pero denso, del plano complejo.

Cada una de las seis operaciones citadas se corresponde con una construcción simple con regla y compás.

Por ejemplo, la parte real, imaginaria, y el módulo de un punto o ratio

(Los problemas, en cambio, sí que son posibles; basta eliminar la restricción de haerlos sólo con regla y compás, como ya sabían los griegos.)

Si ese polinomio pudiera reducirse a grado 2, tendría una raíz racional que, por el teorema de la raíz racional, debería ser 1 o −1, que evidentemente no son raíces (basta una comprobación).

La trisección del ángulo, como muchas otras construcciones imposibles con regla y compás, puede llevarse a cabo fácilmente con el sistema más potente, aunque físicamente sea muy sencillo, de papeles doblados denominado origami.

Esto nos lleva a la pregunta: ¿es posible construir cualquier polígono regular con regla y compás?

Sin embargo, sólo se conocen 31 polígonos regulares construibles con un número impar de lados.

Euclides no tenía ningún axioma, ni podía demostrar ningún teorema, que mostrara siquiera la existencia de la neusis, de modo que no podía usarla en las construcciones.

Es posible trisectar un segmento, incluso, dividirlo en cuántas partes se desee, haciendo uso del primer Teorema de Tales.