Problema de Apolonio

Apolonio de Perge (circa 262 a. C.-circa 190 a. C.) propuso y resolvió este problema en la obra Ἐπαφαί, (Epaphaí, Tangencias).

En el siglo XVI, Adriaan van Roomen resolvió el problema utilizando la intersección de hipérbolas,[6]​ pero esta solución no se basa únicamente en construcciones con regla y compás, por lo que puede considerarse menos elegante.

Joseph Diaz Gergonne aprovechó esta simetría desarrollando un elegante método para encontrar las soluciones con regla y compás,[12]​ mientras que otros matemáticos utilizaron transformaciones geométricas como la reflexión en una circunferencia —para que esta se utilice debe haber simetría del problema— para simplificar la disposición de las circunferencias dadas.

Por hipótesis, se asume que un punto, recta o circunferencia es tangente a sí mismo, por lo que si una circunferencia dada ya es tangente a los otros dos objetos, se cuenta como solución del problema de Apolonio.

La reformulación en términos distancias centro-centro es útil en las resoluciones de Adriaan van Roomen e Isaac Newton que se muestran más abajo, y también en el posicionamiento hiperbólico o trilateración, que consiste en localizar una posición a partir de las diferencias entre las distancias a tres puntos conocidos.

Una propiedad muy apreciada en la geometría euclidiana clásica es la posibilidad de resolver problemas utilizando solo construcciones con regla y compás.

[27]​ Muchas construcciones, como dividir un ángulo en tres partes iguales, son imposibles utilizando solo estas herramientas.

[29]​ Viète resolvió en primer lugar algunos casos especiales sencillos del problema de Apolonio, como encontrar una circunferencia que pase por tres puntos dados, que solo tiene una solución si los puntos son diferentes, formulando soluciones para casos especiales más complicados, en algunos de estos casos mediante la reducción o la ampliación de las circunferencias dadas.

[30]​ Durante el siglo XIX se desarrollaron varias resoluciones geométricas del problema de Apolonio.

René Descartes e Isabel de Hervorden se convirtieron en los primeros en proporcionar resoluciones algebraicas, aunque los métodos que utilizaban eran bastante complejos.

[1]​ A finales del siglo XVIII y durante el XIX, se desarrollaron otros métodos algebraicos más prácticos por parte de muchos matemáticos, incluyendo Leonhard Euler,[33]​ Nicolas Fuss,[1]​ Carl Friedrich Gauss,[34]​ Lazare Carnot,[35]​ y Augustin Louis Cauchy.

[8]​[9]​ Viète comenzó resolviendo el caso PPP (tres puntos) siguiendo el método de Euclides que se expone en su obra Elementos.

Siguiendo el método Euclides por segunda vez, Viète resolvió el caso RRR (tres rectas) utilizando el teorema de la bisectriz.

Así ya había resuelto los cuatro primeros casos del problema de Apolonio, los que no contienen circunferencias.

Después resolvió el caso CRP (una circunferencia, una recta y un punto) utilizando tres lemas.

Esto podría hacer pensar (incorrectamente) que puede haber hasta dieciséis soluciones del problema de Apolonio.

Una manera de evitar este doble recuento es considerar solo las circunferencias solución con radio no negativo.

Si r no es cero, el signo s puede ser positivo o negativo, para verlo, se representa la orientación de la circunferencia: las circunferencias orientadas en contra del sentido de las agujas del reloj tienen s positivo y, en cambio, las que están orientadas en el sentido de las agujas del reloj tienen s negativo.

donde las barras verticales que contienen c1 − c2 representan la longitud de este vector diferencia, es decir, la norma euclidiana.

Las dos circunferencias resolutorias conjugadas están relacionadas por la inversión, tal como se explica a continuación.

Por lo tanto, aplicando el teorema del coseno: Aquí, una nueva constante C ha sido definida para abreviar esto, con el subíndice que indica si la solución es tangente externamente o interna.

Dos circunferencias dadas cualesquiera que no se intersecan pueden transformarse en concéntricas de la siguiente manera.

Pueden existir hasta cuatro rectas resolutorias, que se pueden construir desde los centros homotéticos interno y externo de las dos circunferencias.

Uno de los dos puntos ya es conocido: se trata del centro radical G que pertenece a las tres rectas.

Si las tres circunferencias dadas son idénticas (están superpuestas), existen también un número infinito de soluciones.

En 1896 Robert Franklin Muirhead realizó una enumeración exhaustiva del número de soluciones para todas las disposiciones posibles de las tres circunferencias, puntos o rectas dadas,[44]​ aunque la cuestión ya había sido tratada anteriormente por V. Stoll,[45]​ y Eduard Study.

[15]​[38]​ Si las tres circunferencias dadas son tangentes entre ellas, el problema de Apolonio tiene cinco soluciones.

[20]​[53]​ El teorema de Descartes fue descubierto independientemente en 1826 por Jakob Steiner,[54]​ en 1842 por Philip Beecroft,[20]​[53]​[55]​ y otra vez en 1936 por Frederick Soddy.

Otra generalización es la dual de la primera extensión, es decir, construir circunferencias con tres distancias tangenciales especificadas de las tres circunferencias dadas, en cuyo caso el problema original es el caso especial en que las distancias son cero.

[15]​ El problema de Apolonio se puede extender del plano a la esfera y otras superficies cuádricas.