Tamiz de Apolonio

[8]​ El tamiz de Apolonio se construye mediante un procedimiento geométrico recursivo que comienza con tres circunferencias A, B y C, cada una de ellas es mutuamente tangente a las otras dos.

Apollonio descubrió que existen otras dos circunferencias D y E, que tiene la propiedad de ser tangentes a las tres circunferencias iniciales – estas dos circunferencias se denominan círculos de Apollonio (véase el teorema de Descartes para una demostración detallada).

De esta forma se sabe que uno de ellos es C – y el otro corresponde a un nuevo círculo G. Si continuamos con el procedimiento se logrará encontrar otra circunferencia F que es tangente a E, B y C, e igualmente otra circunferencia H construida de E, C y A.

Se puede construir otros nuevos tres círculos empleando D en lugar de E junto con A, B y C, proporcionando seis nuevos círculos al conjunto inicial.

[9]​ El procedimiento inspirará posteriormente al matemático polaco Wacław Sierpiński a construir su conocido triángulo (nombrado igualmente como tamiz de Sierpinski).

Por ejemplo, si en lugar de emplear circunferencias generatrices se trazan rectas.

En este caso el tamiz posee dos líneas de simetría reflectiva; una línea uniendo los centros de los dos círculos de radio igual; la otra es la línea que pasa por sus dos mutuas tangencias, recta que pasa igualmente por el centro del tercer círculo.

En este sentido, para cada isometría hiperbólica existe un único tamiz de Apolonio.

Cuanto mayor sea el número de menor dimensión es la circunferencia.

Solo las tres primeras curvaturas (de las cinco representadas en la tabla) son necesarias para completar y describir el tamiz – todas las demás curvaturas pueden derivarse de estas tres.