Cuádrica

Son superficies en el espacio o hipersuperficies (de dimensión

Cuando no se precisa, es una superficie del espacio tridimensional real usual, en un sistema de coordenadas ortogonal y unitario, y las coordenadas se llaman x, y, z. Fueron los matemáticos griegos de la antigüedad quienes iniciaron el estudio de las cuádricas, con el cono (una cuádrica) y sus secciones, que son las cónicas, curvas en un plano bidimensional, aunque no emplearon ecuaciones.

, entonces la cuádrica típica en ese espacio se define mediante la ecuación algebraica: donde

Esta sección se centra en las cuádricas del espacio euclídeo real tridimensional.

Por ejemplo, la ecuación: es de segundo grado pero, también se puede escribir como: que equivale a: una ecuación de primer grado que corresponde a un plano, superficie que no tiene las propiedades relacionadas con el segundo grado.

Generalmente, se descartan todos los polinomios de segundo grado que son cuadrados.

entonces los términos lineales para cada variable: pueden asimilarse a los cuadráticos: mediante el método de completar cuadrados, de modo que sea fácil interpretar la ecuación como una de las formas "normalizadas" que se presentan a continuación, pero "descentrada" o "trasladada" (no centrada en el origen,

, sino en un punto de coordenadas implícitas en la nueva forma).

Esta ecuación se llama normalizada porque dos cuádricas tienen la misma forma normalizada si y sólo si hay una transformación euclídea que transforma los puntos de una en los de la otra.

Que dos cuádricas tengan la misma forma normalizada es una relación de equivalencia, lo que permite clasificarlas todas según cuál tienen, como se ve a continuación.

Por medio de traslaciones y rotaciones (transformaciones euclídeas, es decir, que conservan la distancia) cualquier cuádrica se puede transformar en una que tiene su ecuación en forma normalizada, como se ha definido en el apartado anterior.

En el espacio euclídeo real tridimensional una cuádrica queda pues totalmente determinada por los coeficientes de su forma normalizada.

Afínmente (es decir, ignorando la noción de distancia), las transformaciones que se pueden usar para transformar una cuádrica en otra son más amplias (no hace falta que conserven la distancia, sólo las alineaciones y razones simples) y por medio de homotecias podemos suponer que todos los coeficientes de las formas normalizadas son

El resto son las cuádricas imaginarias, que constan de puntos de coordenadas complejas, (elipsoide imaginario (sin ningún punto real), cilindro imaginario (sin ningún punto real) y cono imaginario (con un único punto real)) y las cuádricas reducibles, que pueden descomponerse en dos planos.

En el espacio proyectivo complejo todas las cuádricas no degeneradas resultan indistinguibles entre sí.

Nótese que como hay una biyección entre formas bilineales simétricas y formas cuadráticas (ver este último artículo), sería equivalente definir una cuádrica como

forma cuadrática con la misma relación de equivalencia.

(es decir, el conjunto de puntos con un representante que anula la forma cuadrática asociada a

Es importante notar que hemos definido una cuádrica como un elemento de

, y no como su conjunto de puntos, pues puede haber cuádricas con el mismo conjunto de puntos que sean distintas.

definidas por sus formas bilineales simétricas asociadas son iguales.

Sin embargo, tienen el mismo conjunto de puntos (vacío):

a la matriz definida salvo producto por escalar siguiente:

Se puede ver que esto es una relación de equivalencia.

Como estas matrices son matrices de formas cuadráticas (no nulas y salvo producto por escalar no nulo), si nos centramos en los casos

A continuación se describen las clasificaciones de las cuádricas en los planos y espacios proyectivos reales y complejos, es decir, se da una lista cerrada de cuádricas tal que cualquier otra cuádrica se puede transformar en una y sólo una de la lista por proyectividades.

Al proyectivizar estas matrices, no consideramos la matriz nula y consideramos equivalentes las matrices que difieren sólo por el producto por un escalar.

Igual que en el caso anterior, en el espacio proyectivo complejo hay cuatro clases cuádricas equivalentes a las de matrices

Como las matrices de las cuádricas están determinadas salvo producto por escalar, podemos suponer que

): Igual que en el apartado anterior, toda cuádrica del espacio proyectivo real es equivalente a una de las siguientes ocho: