En este caso, se dice que-tuplas de escalares salvo proporcionalidad (multiplicación por un escalar no nulo).En esta sección construimos estas coordenadas a partir de una referencia proyectivaDenotamos distinto el último punto porque tendrá un papel diferente a los demás.Llamaremos vértices de la referencia a los puntosPara definir las coordenadas de los puntos del espacio nos hará falta definir una base del espacio vectorialPara ello, diremos que un conjunto ordenado de vectoreses una base adaptada a la referencia si se cumple queUn primer resultado es que toda referencia proyectiva admite una base adaptada.son linealmente independientes y, al ser tantos comosobre un elemento significa que no está en la lista.puntos de la referencia proyectiva que no son proyectivamente independientes, lo que es una contradicción con su definición.Para ver la unicidad, tomemos dos bases adaptadasObservemos en primer lugar que al ser bases adaptadas, se satisface, paraQueremos ver que todos estosdefinidas salvo producto por escalar no nulo (esto hará falta para que estén bien definidas) si y sólo siDe hecho, la demostración anterior también es cierta de derecha a izquierda, demostrando que puntos con iguales coordenadas son iguales (o, equivalentemente, que puntos distintos tienen coordenadas distintas).Para la independencia respecto de la base adaptada escogida, ya hemos visto que siSi no hubiera punto unidad y definiéramos una referencia proyectiva comopuntos proyectivamente independientes y una base adaptada a, las coordenadas homogéneas no estarían bien definidas.fuera base adaptada, también lo sería, por ejemplo,Si en la primera base el punto tuviera coordenadasque son, en general, coordenadas distintas aunque ambas bases fueran adaptadas de partida.Intuitivamente, añadir el punto unidad hace que los vectores de la base no se puedan "estirar" de uno en uno sino todos a la vez, de forma que las coordenadas no pueden variar arbitrariamente sino sólo por un factorLa mayor importancia de las coordenadas homogéneas es que permiten trabajar con cualquier espacio proyectivo) pues existe una biyección entre ambos (consistente en tomar coordenadas homogéneas en una referencia proyectiva).Es decir, cualquier espacio proyectivo se comporta esencialmente igual quese define a partir de la base canónicaEs fácil comprobar por definición que estos puntos determinan, en efecto, una referencia proyectiva de
En un plano proyectivo, cuatro puntos definen una referencia proyectiva.
