Cuadrángulo completo

Como sistemas de puntos y líneas en los que todos los puntos pertenecen al mismo número de líneas y todas las líneas contienen el mismo número de puntos, el cuadrángulo completo y el cuadrilátero completo forman ambos configuraciones proyectivas; en la notación de configuraciones proyectivas, el cuadrángulo completo se escribe como (4362) y el cuadrilátero completo se escribe como (6243), donde los números en esta notación se refieren a los números de puntos, líneas por punto, líneas y puntos por línea de la configuración.

[3]​ Karl von Staudt reformó las bases matemáticas en 1847 con el cuadrángulo completo cuando declaró que una "propiedad armónica" podría basarse en concomitantes del cuadrángulo: cuando cada par de lados opuestos del cuadrángulo se cruzan en una línea, entonces las diagonales se cruzan con la línea en posiciones conjugadas armónicas.

A través de la perspectiva y la proyectividad, la propiedad armónica es estable.

Los puntos medios de las diagonales son colineales, y (como demostró Isaac Newton) también colineales con el centro de una sección cónica que sea tangente a las cuatro líneas del cuadrilátero.

Los circuncentros de estos mismos triángulos se encuentran en un punto.