Geometría finita
Por ejemplo, la geometría euclidiana no es finita, ya que la recta de Euclides contiene infinitos puntos, de hecho posee tantos puntos como números reales.
Las geometrías finitas pueden ser construidas mediante el álgebra lineal, como espacios vectoriales sobre un cuerpo finito, llamadas geometrías de Galois, o pueden ser definidas puramente por combinatoria.
Por ejemplo, todo espacio proyectivo finito de tres o más dimensiones es isomorfo a un espacio proyectivo sobre un cuerpo finito (la proyección de un espacio vectorial sobre un cuerpo finito), entonces, en este caso no hay distinción, pero en la dimensión dos existen planos proyectivos definidos combinatoriamente que no son isomorfos al espacio proyectivo sobre el cuerpo finito -los planos no desarguesianos- por lo tanto en este caso existe una distinción.
En un geometría afín, aplica el sentido común de rectas paralelas.
(cuyos elementos son llamados "puntos"), junto con una colección no vacía
(cuyos elementos son llamados "rectas"), tal que: El último axioma asegura que la geometría no sea trivial (vacía o demasiado simple para ser interesante, tal como una única recta con un número arbitrario de puntos pertenecientes a ella), mientras los dos primeros especifican la naturaleza de la geometría.
Ya que no existen tres puntos colineales entre sí, cualquier par de puntos determina una recta única, y por tanto el plano contiene seis rectas.
Corresponde a un tetraedro donde los bordes no secantes son considerados «paralelos», o un cuadrado donde no solo los lados opuestos son considerados paralelos, sino también las diagonales.
no vacío (cuyos elementos son llamados «puntos»), junto a una colección
Esto sugiere el principio de dualidad para geometrías de planos proyectivos, lo que significa que cualquier afirmación verdadera en todas esas geometrías permanece verdadero si cambiamos puntos por rectas y rectas por puntos.
puntos, al igual que el número de rectas.
Una mayor pregunta abierta en una geometría finita es: Esta conjetura puede ser cierta, sin embargo no ha sido demostrada.
sea una potencia prima (un número primo elevado a un exponente entero positivo), mediante el uso de planos afines y proyectivos sobre el cuerpo finito con
También existen planos que no derivan de cuerpos finitos, sin embargo los órdenes de todos los ejemplos mostrados son una potencia prima.
La no existencia de un plano finito de orden 10 fue probada en una demostración asistida por computadora que terminó en 1989 (véase (Lam, 1991) para más detalles).
El siguiente número más pequeño a considerar es 12, cuyo resultado no ha sido demostrado ser falso o verdadero.
A cada cuerpo K se le asocia un espacio proyectivo (tridimensional) cuyos puntos, rectas y planos pueden ser identificados con el primer, segundo y tercer subespacio de un vector tetradimensional sobre el cuerpo K. Hay un conjunto de axiomas para espacios proyectivos.
Como las geometrías, son isomorfos al plano de Fano.
En 1892, Gino Fano fue el primero en considerarlo como una geometría finita: una geometría tridimensional conteniendo 15 puntos, 35 rectas y 15 planos, cada plano conteniendo 7 puntos y 7 rectas.
En la geometría proyectiva sintética los elementos no definidos son tomados como puntos y rectas.
En particular, los postulados del 1 al 8 son satisfechos por puntos, rectas y planos del espacio tridimensional, cuyos puntos están indicados en la figura 4.
Hay también muchos espacios tridimensional proyectivos finitos muy diferentes entre sí, definidos por estos postulados.
Una geometría proyectiva tetradimensional puede ser obtenida reemplazando el postulado 8 por el siguiente: y agregando un postulado de clausura: En general, una geometría proyectiva n-dimensional (n= 4,5, …) puede ser obtenida reemplazando el postulado 8 por lo siguiente: El estudio de estos espacios pluridimensional ( n > 3) tiene muchas aplicaciones importantes en las teorías de matemática avanzada.
Estos espacios tridimensionales pueden ser modelados por el Problema de las colegialas de Kirkman, el cual señala: Hay 35 combinaciones diferentes para que las niñas caminen juntas.
