Dualidad (geometría proyectiva)

En el enfoque funcional existe una correspondencia entre las geometrías relacionadas, que se denomina dualidad.

Es decir, una dualidad del plano σ asignará puntos a rectas y rectas a puntos (Pσ = L y Lσ = P) de tal manera que si un punto Q está en una recta m (denotada por Q I m) entonces Q I m ⇔ mσ I∗Qσ.

[5]​ Recíprocamente, la existencia de una correlación significa que el plano proyectivo C es autodual.

Sin embargo, si lo es, esto es, si C = PG(2, K) siendo K un anillo de división (asimétrico), entonces una dualidad, como se define a continuación para espacios proyectivos generales, produce una dualidad de plano en C que satisface la definición anterior.

Por el Teorema fundamental de la geometría proyectiva θ es inducido por una aplicación semilineal T: V → V∗ con isomorfismo asociado σ: K → Ko, que se puede ver como un antiautomorfismo de K. En la literatura clásica, π en general se denominaría una reciprocidad, y si σ = id entonces se llamaría una correlación (y K necesariamente sería un campo).

Algunos autores suprimen el papel del isomorfismo natural y llaman a θ una dualidad.

Sea Tw = T(w) que denota el funcional lineal de V∗ asociado con el vector w en V. Defínase la forma φ: V × V → K por: φ es una forma sesquilineal no degenerada con antiautomorfismo acompañante σ.

Los puntos de PG(n,K) se pueden tomar como los vectores distintos de cero en el espacio vectorial (n + 1)-dimensional sobre K, donde se identifican dos vectores que difieran por un factor escalar.

Como K es un campo, el producto escalar es simétrico, es decir, uH • xP = u0x0 + u1x1 + ... + unxn = x0u0 + x1u1 + ... + xnun = xH • uP.

Puede establecerse una reciprocidad simple (en realidad, una correlación) entre puntos e hiperplanos mediante uP ↔ uH, que se extiende a una reciprocidad entre la recta generada por dos puntos y la intersección de dos de tales hiperplanos, y así sucesivamente.

En un espacio proyectivo, PG(3, K), la correlación es dada por: puntos en coordenadas homogéneas (a, b, c, d) ↔ planos con ecuaciones ax + by + cz + dw = 0.

La forma sesquilineal asociada para esta correlación es: donde el antiautomorfismo acompañante es σ = id.

Por lo tanto se trata de una forma bilineal (téngase en cuenta que K debe ser un campo).

Esto se puede escribir en forma de matriz (con respecto a la base estándar) como: donde G es el (n + 1) × (n + 1) matriz identidad, utilizando la convención de que uH es un vector fila y xP es un vector columna.

La correlación viene dada por: Esta correlación en el caso de PG(2, R) puede describirse geométricamente utilizando el modelo del plano real proyectivo que es una "una esfera de radio unidad con antípodas[10]​ identificadas", o lo que es lo mismo, el modelo de rectas y planos que pasan a través del origen del espacio vectorial R3.

Que esta asociación "preserva" la incidencia se ve más fácilmente desde el modelo de rectas y planos.

Dada una base { ei } de V, se puede representar esta forma de la siguiente manera: donde G es una matriz (n + 1) × (n + 1) no singular sobre K y los vectores se escriben como vectores columna.

La notación xσ significa que el antiautomorfismo σ se aplica a cada coordenada del vector x.

De forma similar, un hiperplano H es un hiperplano absoluto (hiperplano autoconjugado) si H⊥ I H. Expresado en otros términos, un punto x es un punto absoluto de polaridad π con forma sesquilínea asociada φ si φ(x, x) = 0 y si φ está escrito en términos matriciales como G, xT G xσ = 0.

Nuevamente se restringe el análisis al caso en el que K sea un campo.

[15]​ Cuando está compuesta consigo misma, la correlación φ(xP) = xH (en cualquier dimensión) produce la función identidad, por lo que es una polaridad.

Estos hechos ayudan a simplificar la situación general de los planos proyectivos finitos.

Si π tiene exactamente n + 1 puntos absolutos, entonces; Un límite superior en el número de puntos absolutos en el caso de que n sea un cuadrado fue dado por Seib[18]​ y mediante un argumento puramente combinatorio se puede establecer que:[19]​ Una polaridad π en un plano proyectivo de orden cuadrado n = s2 tiene como máximo s3 + 1 puntos absolutos.

En el plano euclidiano, sea un círculo C con centro O y radio r. Para cada punto P que no sea O, se dfine un punto imagen Q tal que OP • OQ = r2.

Sea C una cónica en PG(2, F), donde F es un campo que no es de característica dos, y sea P un punto de este plano que no esté en C. Dos rectas secantes de la cónica distintas, como AB y JK determinan cuatro puntos en la cónica (A, B, J, K) que forman un cuadrángulo.

Gergonne acuñó los términos "dualidad" y "polar" (aunque el término "polo" se debe a F.-J. Servois) y adoptó el estilo de escribir declaraciones duales una al lado de la otra en su diario.

Jean-Victor Poncelet (1788-1867), autor del primer texto sobre geometría proyectiva, "Traité des propriétés proyectives des figures", fue un geómetra sintético que desarrolló sistemáticamente la teoría de polos y polares con respecto a una cónica.

[26]​ Respecto a esta disputa, Pierre Samuel[27]​ ha bromeado diciendo que ambos hombres estaban en el ejército francés y Poncelet era general mientras que Gergonne era un mero capitán, y el punto de vista Poncelet prevaleció, al menos entre sus contemporáneos franceses.