Dualidad (matemática)

El resultado es nuevamente un subconjunto de S. Tomar el complemento tiene las siguientes propiedades: Esta relación aparece en topología como una dualidad entre subconjuntos abiertos y cerrados de un espacio topológico fijo X: un subconjunto U de X es cerrado si y solo si su complemento en X es abierto.A diferencia del complemento de conjuntos mencionado anteriormente, en general no es cierto que la aplicación dos veces de la construcción del cono dual, devuelva el conjunto originalPor lo tanto, esta dualidad es más débil que la anterior, verificándose que Las otras dos propiedades se transfieren sin cambios: Un ejemplo muy importante de dualidad surge en el álgebra lineal al asociar a cualquier espacio vectorial V su espacio dual V*.por el espacio vectorial y las inclusiones de dichos subconjuntos por aplicaciones lineales.Es decir: Una característica particular de esta dualidad es que V y V* son isomórficos para ciertos objetos, a saber, espacios vectoriales de dimensión finita.En cambio, tales dualidades revelan una relación cercana entre objetos de naturaleza aparentemente diferente.Para una extensión de Galois K / F fija, se puede asociar el grupo de Galois Gal(K/E) a cualquier campo intermedio E (es decir, F ⊆ E ⊆ K).Por el contrario, para cualquier subgrupo H ⊆ G existe el campo fijo KH que consiste en elementos fijados por los elementos en H. Comparado con lo anterior, esta dualidad tiene las siguientes características: Dado un conjunto parcialmente ordenado P = (X, ≤) (abreviatura de conjunto parcialmente ordenado, es decir, un conjunto que tiene una noción de orden, pero en el que dos elementos no pueden colocarse necesariamente en orden relativo entre sí), el conjunto parcialmente ordenado dual Pd = (X, ≥) comprende el mismo conjunto de suelo pero con la relación transpuesta.Por ejemplo, todos los automorfismos de un conjunto potencia S = 2R son inducidos por permutaciones de R. Un concepto definido para un orden parcial P corresponderá a un «concepto dual» en el conjunto parcialmente ordenado dual Pd.Estas correspondencias preservan la relación de incidencia: si dos partes del poliedro primario se tocan entre sí, también lo hacen las dos partes correspondientes del poliedro conjugado.El mismo concepto de dualidad gráfica plana se puede generalizar a gráficos que se dibujan en el plano pero que no provienen de un poliedro tridimensional, o más generalmente a grafos embebidos en superficies correspondientes a elementos de género superior: se puede dibujar un gráfico dual colocando un vértice dentro de cada región delimitada por un recinto de aristas en la gráfica, y dibujando un vínculo que conecte dos regiones cualesquiera que compartan una arista.), un sistema de restricciones lineales (especificando que el punto se encuentre en un semiespacio; la intersección de estos semiespacios es un politopo convexo, la región factible del programa), y una función lineal (que se debe optimizar).Este hecho caracteriza los espacios vectoriales de dimensión finita sin referirse a una base.Por ejemplo, si K es el campo de los números reales o de los números complejos, cualquier forma bilineal positiva definida da lugar a dicho isomorfismo.Esta propiedad se puede usar por ejemplo para formular las ecuaciones de Maxwell.De esta forma, la dualidad inherente a un espacio con producto interno permite intercambiar los roles del campo magnético y del campo eléctrico.[9]​ Para tales planos surge un principio general de dualidad proyectiva: dado cualquier teorema en dicha geometría proyectiva plana, el intercambio de los términos «punto» y «recta» en todas partes da como resultado un nuevo teorema igualmente válido.La dualidad en tales geometrías proyectivas se deriva de la asignación a unComo consecuencia de la fórmula de dimensión del álgebra lineal, este espacio es bidimensional, es decir, corresponde a una línea recta en el plano proyectivo asociado aLa forma bilineal (definida positiva) produce una identidad de este plano proyectivo con elLos espacios de Hilbert H están equipados con un producto interno 〈-, -〉.Son un medio técnico importante en la teoría de ecuaciones en derivadas parciales: en lugar de resolverlas directamente, puede ser más fácil primero hallar soluciones en el "sentido débil", es decir, encontrar una distribución que las satisfaga y, segundo, demostrar que la solución debe ser, de hecho, una función.Este es un caso particular de un fenómeno de dualidad más general, según el cual los límites en una categoría C corresponde al límite en la categoría opuesta Cop; otros ejemplos concretos de esto son los epimorfismo frente a los monomorfismos; el módulo factor en relación con el módulo; el producto directo frente a la suma directa (también llamado coproducto para enfatizar el aspecto de dualidad).En realidad, la correspondencia de límites y colímites es un ejemplo de adjuntos, ya que hay una adjunción del funtor colímite que asigna a cualquier diagrama en C indexado por alguna categoría I su colímite y el funtor diagonal que asigna cualquier objeto c de C al diagrama constante que tiene c en todos los lugares.[19]​ En una línea similar hay una dualidad en geometría algebraica entre anillos conmutativos y sus espectros: para cada anillo conmutativo A hay un espectro afín, Espec A.Una dualidad que respeta los citados conceptos se conoce como una conexión de Galois.Por otro lado, es la razón conceptual del análisis de Fourier, que figura a continuación.En análisis, los problemas se resuelven con frecuencia pasando a la descripción dual de funciones y operadores.Además, la transformación intercambia operaciones de multiplicación y convolución en los espacios funcionales correspondientes.El mismo patrón de dualidad se cumple para una variedad projectiva uniforme sobre una clausura algebraica, utilizando una cohomología l-ádica con coeficientes Qℓ en su lugar.