Óvalo (plano proyectivo)

Como ya se ha mencionado, en geometría proyectiva un óvalo se define por sus propiedades de incidencia, pero en otras áreas, los óvalos pueden definirse para satisfacer otros criterios, como por ejemplo, en geometría diferencial mediante condiciones de diferenciabilidad en el plano real.De hecho, existen óvalos abstractos que no pueden estar en ningún plano proyectivo.Para planos finitos (es decir, si el conjunto de puntos es finito) se tiene una caracterización más conveniente:[2]​ Un conjunto de puntos en un plano afín que satisface la definición anterior se denomina óvalo afín.Esta afirmación se puede verificar mediante un cálculo sencillo para cualquiera de las cónicas (como parábolas o hipérbolas).Las cónicas no degeneradas son óvalos con propiedades especiales: Se pueden encontrar más ejemplos finitos ideados por E.Aquí hay algunos resultados: Para óvalos topológicos se cumplen los siguientes criterios simples: Un óvalo en un plano proyectivo finito de orden q es un (q + 1, 2)-arco, en otras palabras, un conjunto de q + 1 puntos, tal que ningún trío es colineal.Además, por el teorema de Qvist, por cualquier punto que no esté en un óvalo pasan cero o dos líneas rectas tangentes a ese óvalo.Dado un óvalo, existe una única tangente que pasa por cada punto, y si q es par, el teorema de Qvist (Qvist (1952)) muestra que todas estas tangentes son concurrentes en un punto P fuera del óvalo.Por el contrario, al eliminar cualquier punto de un hiperóvalo se obtiene inmediatamente un óvalo.Como todos los óvalos en el caso de orden par están contenidos en hiperóvalos, una descripción de los hiperóvalos (conocidos) da implícitamente todos los óvalos (conocidos).Los óvalos obtenidos al eliminar un punto de un hiperóvalo son proyectivamente equivalentes si y solo si los puntos eliminados están en la misma órbita del grupo de automorfismos del hiperóvalo.Solo hay tres pequeños ejemplos (en los planos desarguesianos) donde el grupo de automorfismo del hiperóvalo es transitivo en sus puntos (véase (Korchmáros, 1978)) por lo que, en general, existen diferentes tipos de óvalos contenidos en un solo hiperóvalo.Cada cónica no singular en el plano proyectivo, junto con su núcleo, forma un hiperóvalo.Estos pueden denominarse hipercónicas, pero el término más tradicional es hiperóvalos regulares.In PG(2,2h), h > 0, un hiperóvalo contiene al menos cuatro puntos, tales que ningún trío de ellos son colineales.Los puntos restantes del hiperóvalo (cuando h > 1) tendrán la forma (t, f(t),1) donde t abarca los valores del campo finito GF(2h) y f es una función de aquel campo que representa una permutación y puede expresarse de forma única como un polinomio de grado como máximo (2h-2), es decir, es un polinomio de permutación.Otras restricciones sobre f son impuestas por la condición de que no hay tres puntos colineales.Una f que produce un hiperóvalo de esta manera se llama o-polinomio.La siguiente tabla enumera todos los hiperóvalos conocidos (en 2011) de PG(2,2h), dando su o-polinomio y cualquier restricción sobre el valor de h que sea necesaria para que la función mostrada sea un o-polinomio.Téngase en cuenta que se deben tomar todos los exponentes mod(2h-1).(Hall, 1975) demostró, también con considerable ayuda de una computadora, que solo había dos clases de hiperóvalos proyectivamente desiguales en este plano, los hipercónicos y los hiperóvalos encontrados por Lunelli y Sce.(Payne y Conklin, 1978), utilizando las propiedades de un cuadrángulo generalizado relacionado, demostró que el grupo de automorfismo no podía ser mayor que el grupo dado por Hall.[12]​ También existen clases correspondientes a los hiperóvalos de Payne y a los hiperóvalos de Cherowitzo (para más detalles, véase (Cherowitzo, 1988).(Penttila y Royle, 1994) estructuró inteligentemente una búsqueda informática exhaustiva de todos los hiperóvalos en este plano.El resultado fue que el listado anterior está completo, solo hay seis clases de hiperóvalos en PG(2,32).Al extender las ideas contenidas en (O'Keefe y Penttila, 1992) a PG(2,64), (Penttila y Pinneri, 1994) pudo buscar hiperóvalos cuyo grupo de automorfismo admitiera una colineación de orden 5.En (Cherowitzo et al., 1996) se muestra que estos son hiperóvalos de Subiaco.Penttila y Royle (Penttila y Royle, 1995) han demostrado que cualquier otro hiperóvalo en este plano tendría que tener un grupo de automorfismo trivial.Esto significaría que habría muchas copias proyectivamente equivalentes de tal hiperóvalo, pero las búsquedas generales hasta la fecha no han encontrado ninguna, lo que da crédito a la conjetura de que no hay otros en este plano.hay dos óvalos abstractos que no pueden estar incrustados en un plano proyectivo (véase Fa1984).