Función infinitamente diferenciable
Una función suave o infinitamente diferenciable es una función que admite derivadas de cualquier orden, y por tanto todas sus derivadas de cualquier orden son continuas.
[1] Como mínimo, una función puede considerarse suave si es diferenciable en todas partes (por tanto, continua).
[2] En el otro extremo, también podría poseer derivadas de todos los órdenes en su dominio, en cuyo caso se dice que es infinitamente diferenciable y se denomina función C-infinita' (o función
Es infinitamente diferenciable en todos sus puntos pero no es analítica.
Es una medida del mayor orden de derivada que existe y es continua para una función.
Sea k un entero no negativo.
es infinitamente diferenciable, suave, o de clase
(Así que todas estas derivadas son funciones continuas sobre
está formada por todas las funciones continuas.
consiste en todas las funciones diferenciables cuya derivada es continua; tales funciones se llaman continuamente diferenciables'.
es exactamente una función cuya derivada existe y es de clase
como el conjunto de todas las funciones continuas, y declarando
como el conjunto de todas las funciones diferenciables cuya derivada está en
, y hay ejemplos para demostrar que esta contención es estricta (
es continua y k veces diferenciable en todo x.
no es (k + 1) veces diferenciable, por lo que
es diferenciable pero su derivada no tiene límite en un conjunto compacto.
es analítica, y por tanto cae dentro de la clase Cω.
Las funciones trigonométricas también son analíticas allí donde se definen, ya que son combinaciones lineales de funciones exponenciales complejas.
es suave, por lo tanto de clase C∞, pero no es analítica en x = ±1, y por lo tanto no es de clase Cω.
enteros no negativos, tales que
También se dice que las funciones de clase
varía sobre una secuencia creciente de conjunto compacto cuya unión es
puede abarcar todos los valores enteros no negativos.
Los espacios anteriores aparecen de forma natural en aplicaciones donde se necesitan funciones que tengan derivadas de ciertos órdenes; sin embargo, particularmente en el estudio de ecuaciones diferenciales parcialess, a veces puede ser más fructífero trabajar en su lugar con los espacios de Sóbolev.
Los términos continuidad paramétrica (Ck) y continuidad geométrica (Gn) fueron introducidos por Brian Barsky, para demostrar que la suavidad de una curva podía medirse eliminando restricciones en la velocidad, con la que el parámetro traza la curva.
[6][7][8] Continuidad paramétrica (Ck) es un concepto aplicado a curva paramétricas, que describe la suavidad del valor del parámetro con la distancia a lo largo de la curva.
se dice que es de clase Ck, si
se toman como derivadas unilaterales (i. e., a
Como aplicación práctica de este concepto, una curva que describe el movimiento de un objeto con un parámetro de tiempo debe tener continuidad 1 y su primera derivada es diferenciable-para que el objeto tenga aceleración finita.
